* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
441
видно, выполняются. Аксиомы движения 12°—15° также будут выполнены, если условиться называть движениями повороты сферы мнимого радиуса. Выполнение аксиом непрерывности 16° и 17° также становится очевидным при указанном проектировании, так как они выполняются для хорд круга.
Точки плоскости Лобачевского можно характеризовать коорди натами х у, z соответствующих точек сферы мнимого радиуса; при этом естественно считать, что М (лг, y z) и М (—х —у, —z) — это диаметрально противоположные точки сферы, но о д н а точка плоскости Лобачевского. Расстояние ММ между точками М (х , y z ) и М (лг , у z ) плоскости Лобачевского определяется по формуле (5'а) (стр. 432), в которой всегда можно достичь того, чтобы правая часть этой формулы была положительна: для этого может лишь понадобиться умножить координаты х y z или x y Z H& — 1 . Поэтому расстояние о между точками М и М пло скости Лобачевского можно вычислить, по формуле
у t х 7 Х 2 х х l9 x 2 2 %9 2 Х9 Xl x 2t Zl
2
х
2
c
h
^ = i
I *\*г
+ Л Л -
*А
I-
(34)
Наша модель показывает, что плоскость Лобачевского в любом направлении простирается в бесконечность, а в малых участках ее геометрия близка к геометрии евклидовой плоскости. 4.2. Примеры теорем геометрии Лобачевского. Так как прямые плоскости Лобачевского соответствуют большим окружностям сферы мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве, то эти прямые
0 Рис. 57.
можно также сопоставить псевдоевклидовым плоскостям, проходя щим через центр сферы мнимого радиуса и высекающим из нее большие окружности. В том случае, когда две прямые плоскости Лобачевского пересекаются в некоторой точке этой плоскости, соответствующие псевдоевклидовы плоскости пересекаются по пря мой мнимой длины, соединяющей центр сферы с точкой сферы, соответствующей точке пересечения данных прямых (рис. 57, а). Однако две псевдоевклидовы плоскости в псевдоевклидовом прост ранстве пересекаются не обязательно по прямой мнимой длины; они
