* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ 431 уравнению (2') сферы радиуса г с центром в точке О удовлетворяют х*+уР —z 2 = r. 2 В случае мнимого радиуса r=*qt писать в виде х +у —z 2 2 2 уравнение (2') можно пере­ (2") = — q\ а в случае, когда г = 0,— в виде (23). Мы уже видели, что поверхность, определяемая уравнением (23), представляет собой конус. Поверхности, определяемые урав­ нениями (2') (при действительном г) и (2") в евклидовом про­ странстве, называются гиперболоидами; такие поверхности можно получить вращением гиперболы вокруг одной из ее осей симмет­ рии. Поверхности с уравнениями (2') и (2") являются соответствен­ но однополостным гиперболоидом (рис. 54, а) и двуполостным гипер­ болоидом (рис. 54, б). Нетрудно проверить, что каса­ тельная плоскость к сфере мни­ мого радиуса является евклидовой плоскостью, касательная плоскость к сфере действительного радиуса является псевдоевклидовой пло­ скостью, а касательная плоскость Рис. 54. к сфере нулевого радиуса (конусу), как мы видели, является полуевклидовой плоскостью. При этом во всех случаях касательная к сфере оказывается п е р п е н д и ­ к у л я р н о й к радиусу, проведенному в точку касания, в том смысле, что радиус перпендикулярен к каждой прямой, лежа­ щей в касательной плоскости. При этом перпендикулярность двух прямых псевдоевклидова пространства, задаваемых векторами а(х y i z ) и b(x у, z) означает равенство нулю «псевдо­ скалярного произведения» г% X L 2t 2 2 t аЬ = х х г 2 +y y< —z z 1 i 1 2 этих векторов. В псевдоевклидовом пространстве (как и в евклидовом) геомет­ рия на сфере в малых ее участках близка к геометрии касатель­ ной плоскости сферы. Поэтому геометрия на сфере мнимого ра­ диуса в псевдоевклидовом пространстве в малых ее участках близка к геометрии евклидовой плоскости," геометрия на сфере действительного радиуса в этом пространстве в малых ее участках близка к геометрии псевдоевклидовой плоскости, а геометрия на