* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

402 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ Ошибочность этого доказательства состоит в том, что Лежандр, не оговаривая этого явно, пользуется следующим утверждением: через любую точку D, взятую внутри игла CAB, можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла. Но это предположение э к в и в а л е н т н о самому V постулату: его так же ие удается доказать, исходя из остальных аксиом, как и V постулат. 1.3. Неевклидова геометрия Лобачевского и абсолютная геометрия. Многие попытки доказательства V постулата проводи­ лись по схеме ^доказательства от противного», т. е. предполага­ лось, что V постулат не имеет места, и делался ряд выводов, имеющих место в этом случае. Если бы при этом удалось прийти к противоречию, то V постулат был бы доказан. По этому пути шли упомянутые нами Хасан ибн а л - Х а й с а м и Омар Х а й я м , а также во многом следовавшие за Хайямом азербайджанский математик XIII века Насир ад-Дин а т - Т у с и , итальянский матема­ тик XVII—XVIII веков Джироламо С а к к е р и и немецкий матема­ тик XVIII века Иоганн Генрих Л а м б е р т . При этом было накоплено много фактов, которые имели бы место в геометрии, в которой верны все аксиомы евклидовой геометрии, кроме аксиомы о парал­ лельности, а последняя н е в е р н а . Особенно много удивительных теорем, которые имели бы место в такой «геометрии», если бы только последняя была возможна, получил И. Г. Ламберт. Однако никто из перечисленных выше математиков не допускал и мысли о том, что, помимо геометрии Евклида, возможна другая непротиво­ речивая геометрия. В большинстве случаев все их построения завершались тем, что явно или неявно применялась аксиома, содержащая утверждение, равносильное V постулату, в результате чего и обнаруживалось противоречие. Однако сегодня мы ценим упомянутые исследования как заложившие д начала неевклидовой геометрии Лобачев" —"^Z^Z ского. Под этим названием понимается та совокупность теорем, которая может быть выведена из системы аксиом, получаемой, • если заменить аксиому параллельных евклидовой геометрии противоположным утвержРис. 14. дением: в плоскости через точку А не при­ надлежащую прямой а, можно провести более одной прямой, не пересекающейся с а (рис. 14). Эта гео­ метрическая система носит имя Николая Ивановича Л о б а ч е в с к о г о , профессора и ректора Казанского университета. Независимо от него, существование новой геометрии установили великий немецкий математик Карл Фридрих Г а у с с и замечательный венгерский математик Янош Б о й я и , сын Фаркаша Бойяи. Назван­ ные три автора первоначально шли тем путем, который мы ука­ зали выше. Стремясь доказать V постулат от противного, они 4 а 7