* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО 399 Д о к а з а т е л ь с т в о . Установим прежде всего, что если сумма углов прямоугольного треугольника ABC равна 180°, то сумма углов прямоугольного треугольника АВС катет ВС которого равен 2ВС (рис. 7), также равна 180°. Для дока­ зательства построим на стороне АС треугольник АСВ\ равный АСВ (причем так, что /_ВАС= £В'СА, £ — Z CAB'); в таком случае все углы четырехугольника АВСВ' будут прямыми (ибо сумма острых углов треугольника ABC по предположению рав­ на 90°). Продолжив теперь отрезок АВ на расстояние В'С' = АВ' и соединив С с С , мы получим четырехугольник В'СС С\ рав­ ный АВСВ' (их можно совместить при по­ мощи симметрии относительно прямой B'Q. Поэтому мы получаем четырехугольник АВС С с четырьмя прямыми углами; диагональ АС разбивает его на два прямоугольных треугольника, сумма углов каждого из кото­ рых равна 180°. Далее мы докажем, что если в одном прямоугольном тре­ угольнике ABC сумма углов равна 180°, то сумма углов и лю­ бого другого прямоугольного треугольника АВС равна 180°. Мы можем считать, что оба катета треугольника ABC б о л ь ш е соответствующих катетов треугольника АВС; если бы это было не так, то мы добились бы нужного нам положения вещей, последовательно удвоив несколько раз ка­ теты треугольника ABC (ведь, по доказан­ ному выше, при удвоении одного из катетов прямоугольного треугольника с суммой углов 180° сумма его углов не меняется). Наложим теперь треугольник А В С на тре­ угольник ЛВС так, чтобы у них совпали пря­ мые углы (рис. 8), и проведем отрезок AC По теореме 1, сумма углов каждого из треугольников АВС и АС С не больше 180°; если хотя бы у одного из них сумма углов была бы м е н ь ш е 180°, то и сумма углов прямоугольного тре­ угольника ABC (получающаяся, если из суммы всех углов треуголь­ ников АВС и АСС вычесть 180°) была бы меньше 180°, что противоречит сделанному предположению. Поэтому сумма углов треугольника АВС также равна 180°. Отсюда, в точности так же как выше, заключаем, что в каждом из треугольников А ВС и А АС сумма углов равна 180°. Теперь уже нетрудно доказать теорему 2. Пусть сумма углов некоторого треугольника ABC равна 180°. Опустив на его 66льшую сторону высоту BD, мы разобьем его на два прямоугольных 1% Х В С А г Х Г Х Х Х Х Х 1 1 1 г г г V г Х Х Х г Х Х Х Х