* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

388 МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА п Все вершины правильного многогранника пространства Е принадлежат одной сфере этого пространства. В гамом деле, рассмотрим две смежные грани правильного многогранника. Эти грани расположены в двух пересе­ кающихся гиперплоскостях. Рассмотрим биссектральную гиперплоскость этих гиперплоскостей, т. е. гиперплоскость, проходящую через (л—2)-мерную плоскость пересечения этих плоскостей и образующую с этими гипер­ плоскостями равные углы ) . Если мы построим биссектральные гиперпло­ скости для данной грани и всех смежных с ней граней, мы полу­ чим л-мерный многогранник, яв­ ляющийся обобщением правильной пирамиды пространства £ . Если мы построим такую же пирамиду на одной из смежных граней, то мы получим две равные пирамиды, примыкающие друг к другу по бо­ ковой грани. Поэтому эти пира­ миды имеют общую вершину, ле­ жащую против граней исходного о) многогранника. Строя аналогич­ Рис. 22. ные пирамиды на всех гранях правильного многогранника, мы получим, что все эти пирамиды имеют общую вершину. Поэтому эта общая вершина пирамид равноудалена от всех вершин многогранника и является центром сферы, на которой лежат эти вершины (ср. рис. 22, где соответствующее построение выполнено для пра­ вильного многогранника пространства £ ) . Будем называть центр этой сферы центром, многогранника. С каждым правильным многогранником пространства Е можно связать симплекс, вершинами которого являются центр О многогранника и центры 1 э 3 п п Рис. 23. О вложенных друг в друга р-мерных граней многогранника, где р = л—1, п—2, . . > вплоть до вершины 0 многогранника. Этот симплекс 0 0 ... 0 называется характеристическим симплексом многогранника. Угол 0 0 0 i находится в 2-мерной грани многогранника и, являясь углом между пря­ мыми, соединяющими центр О этой грани с ее вершиной О и с серединой ее ребра, равен л / р ; угол О 0 0 находится в 2-мерной грани вершинной фигуры многогранника и, являясь углом между прямыми, соединяющими центр 0 этой грани с ее вершиной 0 и с серединой ее ребра, равен я/раТочно так же показывается, что каждый угол О _ 0 0 ^ , где ft=l, 2, . . . , л—1, равен л/рд, а все остальные углы 2-мерных граней симплекса О 0 ... О —прямые. Поэтому отличны от я/2 только углы между гранями р 0 0 г п 0 2 а 0 0 г 9 2 3 г й 1 А + 1 0 г п х ) Ср. выше, стр. 367—373.