* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ШАРЫ И СФЕРЫ 375 О и 0 меньше разности г —г радиусов или больше суммы г + г , то сферы S и S вовсе не имеют общих точек; в самом деле, если бы они имели общую точку А, то в треугольнике О 0 А сторона О 0 была бы меньше разности двух других сторон или больше их суммы. Если сферы S и S не являются концентриче­ скими и если расстояние О 0 между их центрами равно сумме или разности радиусов сфер, то сферы имеют е д и н с т в е н н у ю общую точку, принадлежащую прямой О 0 \ в этом случае сферы назы­ ваются касающимися. Наконец, если расстояние между центрами сфер S и S больше разности их радиусов, но меньше суммы радиусов, то сферы имеют много общих точек. При этом если А — какая угодно из общих точек сфер S п S и Р—ее проекция на х 2 х 2 1 2 x 2 х 2 х 2 x 2 г 2 х 2 x 2 x 2 прямую О 0 г (рис. 13), то O P —0 P = 0 A —0 A = r —rl, и р это условие однозначно определя¬ т точку Р. Поэтому пересечение А^*"" сфер S и S целиком принадлежит \ I 2 x 2 1 2 1 е x 2 z z 2 2 2 \ г? Рис. 12. * гиперплоскости пространств перпендикулярной к прямой О 0 в точке Р. Далее, так как отрезки О Р и О А ~г нам известны, от из­ вестно и расстояние РА = \^О А —QiP , откуда вытекает, что пе­ ресечение сфер S и S представляет собой сферу гиперплоскости АГ (понимаемой как пространство Е"" ) с центром в точке Р ( и ра­ диусом ] / r f — О Р*). х 2 х х х г 2 х x 2 1 х 3.2. Степень точки относительно сферы. Инверсия. Почти вся теория окружностей плоскости, развитая в статье «Окружности» в кн. IV ЭЭМ, может быть перенесена на случай сфер л-мерного пространства Е . В ка­ честве примера мы наметим здесь пути перенесения на л-мерный случай понятий, связанных со степенью точки относительно окружности (см. стр. 454 и след. кн. IV ЭЭМ). Пусть S—сфера с центром О и радиусом г и М—произвольная точка. Произвольная прямая /, проходящая через точку М, пересекает сферу 5 в точках А и В; скалярное произведение МА-МВ мы назовем степенью точки М относительно сферы S. Для того чтобы доказать независимость произведения МА-МВ от прямой обозначим через е единичный вектор этой прямой; в таком случае (векторное) уравнение прямой можно записать в виде п где вектор х х x=x +et, (45) отвечает точке М. Сопоставив уравнение (45) прямой с x