* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

364 МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. Аналогично этому кратчайшее расстояние d между двумя (непересекающимися) плоскостями (произвольной размерности) пространства Е равно длине общего перпендикуляра этих двух плоскостей. В самом деле, пусть AQB — общий перпендикуляр плоскостей М и N , а А Б —какие угодно другие точки тех же плоскостей. Опустим из точки А перпендикуляр AB на плоскость N. Объединением прямых А А и В В является трехмерное простран­ ство Е* или двумерная плоскость Е , причем в обоих случаях кратчайшим расстоянием между прямыми А А и В В является их общий перпендикуляр А В$\ поэтому А В ^.АВ . С другой стороны, кратчайшим расстоянием от точки А д о плоскости N является перпендикуляр AB опущенный из А на N; поэтому АВ ^АВ. Таким образом, AJ3 ^ AB. Доказательство существования общего перпендикуляра АВ можно провести в точности так ж е , как в случае двух прямых трехмерного пространства. Пусть М и N— 6-мерная и /-мерная плоскости л-мерного пространства Е", не имеющие общих точек; уравнения этих плоскостей пусть имеют вид (о) и (5а). Из числа векторов a а , a ; b b. . . . , b пусть будет г линейно 1 0 9 T 0 0 1 2 0 0 Х 0 0 0 Х L9 Г 0 0 0 lt 2 k l9 l9 t независимых ^ т . е. плоскости М и N пусть будут лельны^ ; эти векторы мы обозначим через c случае (г+1)-мерная плоскость lt — - -парал­ ..., с . В таком г С 29 х = х + t c + t c + ... -f 0 x x 2 2 if +t (x —* ) r r+1 ± 0 будет являться объединением плоскостей М и N. В этой плоско­ сти Р однозначно определятся две параллельные г-мерные плоскости (гиперплоскости пространства Р) М и N содержащие М соот­ ветственно N; уравнения этих плоскостей можно записать в виде Г R T 9 * = *о + 'А + 'А+---+'А и x = x + tc + t c + . l 1 l 2 2 0 +t c r r R Ортогональная проекция М плоскости М на плоскость N пред­ ставляет собой множество оснований перпендикуляров, опущенных из точек плоскости М на плоскость N \ она является 6-мерной плоскостью, принадлежащей N и пересекающей N по (6 + /—/^-мер­ ной плоскости М (в силу формулы Грассмана (12) размерность d пересечения М и N находится из соотношения d + r = 6 + / ) . Любой перпендикуляр, опущенный из точки плоскости М на пло­ скость М пересекает М и перпендикулярен к плоскостям М и N а следовательно и плоскостям М и N (см. рис. 6, где изображен случай 6 = / = 1, г = 2, г + 1 = 3 , d = k + l—r = Q). Из проведенного R R 0 Г Г R % 9