* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

354 МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА задачи этой геометрии, как обобщение на многогранники этого пространства формулы Эйлера и классификация правильных много­ гранников многомерного пространства. В настоящее время, помимо геометрии многомерного евклидова пространства, разработана геометрия многомерных аффинного, проективного и конформного пространств, многомерные неевкли­ довы геометрии, многомерные геометрии переменной кривизны (римановы геометрии) и более сложные геометрии аффинной, проектив­ ной и конформной связности, а также бесконечномерные геометрии различных типов. Многомерные геометрические представления в настоящее время систематически применяются для наглядного решения систем линейных уравнений и других задач линейной алгебры, для решения задач линейного программирования и дру­ гих задач, в которых рассматриваются более трех независимых переменных. Значение многомерной геометрии для современной физики видно уже из названных выше книг Вейля и фон Неймана. В этой статье мы изложим несколько наиболее наглядных воп­ росов геометрии пространства относящихся к плоскостям (раз­ ного числа измерений), сферам и многогранникам этого пространства. § 2. Прямые и плоскости 2 . 1 . Определение прямых и плоскостей. Параллельность и пер­ пендикулярность. Будем называть прямой линией пространства Е множество таких точек М этого пространства, что все векторы Af iW, где Ж — некоторая точка этого множества, линейно зависят от некоторого ненулевого вектора а (т. е. множество точек М, получаемых из точки М откладыванием всех векторов вида ta, где / — произвольное вещественное число). Поэтому, если усло­ виться характеризовать точку М пространства Е вектором х = ОМ («радиусом-вектором» этой точки), то прямая определится вектор­ ным уравнением x = x + ta (4) п 0 0 0 п 0 (здесь x = OM ). Аналогично будем называть к-мерной плоскостью пространства Е множество таких точек М этого пространства, что все векторы М М, где М — некоторая точка этого множества, являются линей­ ными комбинациями k линейно независимых векторов a fl>, (т, е. множество точек Af, получаемых из точки М откладыванием всех векторов вида t a + t a + . . . + t a , где t / , — произвольные числа). Поэтому 6-мерная плоскость определяется векторным уравнением Q 0 п 0 0 lt 0 x x 2 2 h k Xl 2 х = * + 'А +' А + • • • + 'А0 < 5 )