* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
346
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ II МИНИМУМ
в с е соотношения, существующие между какими-либо двумя из этих величин. Под каждым знаком неравенства изображена га фигура, для которой достигается р а в е н с т в о (если оно достигается). Если при этом под изображением фигуры написано «и др.», то это означает, что, кроме изображенной фигуры, существуют и другие, для которых соответствующее равенство достигается. Если указание «и др.» отсутствует, это означает, что равенство достигается т о л ь к о для изображенной фигуры. Установленные выше соотношения (изопериметрическое неравен ство, теоремы Юнга и Бляшке) являются наиболее сложно доказы ваемыми. Большая часть других указанных в таблице соотношений получается значительно проще. Рассмотрим для примера последний столбец таблицы. Из того, что вписанная окружность (имеющая радиус г) целиком заключена внутри фигуры F, непосредственно вытекают соотношения р ^ 2 я г , s^nr d^2r Д ^ 2 г , а так как описанная окружность содержит фигуру F (а значит, и вписанную окружность) внутри себя, то / ? ^ = г . Из теоремы Бляшке мы знаем, что А ^ З г . Наконец, пример очень длинного прямоугольника вы соты 2г показывает, что при заданном радиусе г вписанной окруж ности фигура F может иметь как угодно большие р, $, d R. Это и дает соотношения, указанные в последнем столбце. Доказательства всех собранных в таблице неравенств читатель может найти в указанной на стр. 347 книге И. М. Я г л о м а и В. Г. Б о л т я н с к о г о [5]. Значительно более сложный характер имеют оценки для той или иной из перечисленных характеристик, если заданы величины д в у х других характеристик (удовлетворяющие, разумеется, ука занным в таблице неравенствам). Например, при заданных d и А (удовлетворяющих необходимому условию d^A) справедливы сле дующие оценки для периметра р:
2 t t y
и др. Многие из соотношений
и др. такого рода до сих пор не найдены.
