* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЗНАМЕНИТЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 335 из всех описанных вокруг окружности п-угольников наименьшую пло­ щадь имеет правильный*). Это утверждение равносильно неравенству 180° s^nr \g—^, где s — площадь любого многоугольника, описанного вокруг окружности радиуса г; равенство достигается лишь для правильного л-уголь­ ника. 2.7. Изопериметрическая задача для мно­ гоугольников. Решим теперь следующую задачу. З а д а ч а . Среди всех п-угольников задан­ ного периметра р найти п-угольник наиболь­ шей площади. Пели многоугольник/И невыпуклый, то его выпуклая оболочка /И* (рис. 120; ср. с т р . 2 1 3 Рис 120. этой книги ЭЭМ) представляет собой (выпук­ лый) многоугольник с меньшим числом сторон, меньшим периметром и б о л ь ш е й площадью. Поэтому, подобно увеличивая многоуголь­ ник AJ*, так чтобы его периметр стал р а в н ы м периметру много­ угольника М мы получим многоугольник ЛГ* еще большей площади. Итак, для всякого невыпуклого л-угольника М найдется много­ угольник ЛГ* (с меньшим числом сторон, т. е. л-угольник, некоторые вершины ко­ торого совпали) того же периметра и большей площади. Далее, площадь любого многоуголь­ ника А А . . . А периметра р не пре­ восходит я р , ибо никакая вершина его не может быть удалена от А больше чем на расстояние р, и потому весь мно­ гоугольник заключен в круге радиуса р с центром А (рис. 121). Докажем теперь, что л-угольник наир . i2i большей площади (при заданном перимет­ ре р) с у щ е с т в у е т. Пусть s*—т о ч н а я в е р х н я я г р а н ь площадей л-угольников периметра р. Выберем последовательность л-угольииков М М периметра р, площади s s. , ... s которых образуют последовательность, сходящуюся к $*: lims = s*. Мы можем при этом предполагать, 2 у г 2 п 2 Л г й с и 29 l9 2 t kf ft k ос lt что все многоугольники M 1 М, г в ы п у к л ы е (ибо, заменяя ) Ясно, что максимум площади s описанного вокруг о к р у ж н о с т и л-угольника достигается д л я т о г о же многоугольника М, для которого достигается максимум периметра р (ибо sup связаны между собой равенством s = V 2 рг, где г — радиус окружности).