* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

314 а н а л и з о м ) заключалась в получении н е о б х о д и м ы х у с л о в и й , которым должна удовлетворять искомая максимальная (минимальная) фигура, а также в отыскании той фигуры, которая этим необхо­ димым условиям удовлетворяет. Так, условие равенства нулю производной (являющееся н е о б х о д и м ы м для того, чтобы функция достигала во внутренней точке максимума или минимума) позволило в задачах на стр. 276—278 выделить е д и н с т в е н н у ю фигуру, удовлетворяющую этому условию, т. е. единственную фигуру, которая м о ж е т обладать требуемым свойством минимальности или максимальности. В задаче Торричелли анализ был более слож­ ным, но и в этом случае нам удалось показать, что существует т о л ь к о о д н а точка, которая м о ж е т обладать требуемым свойством минимальности. Однако одним анализом решение рассмотренных задач не огра­ ничивалось. В каждом случае была еще и вторая часть решения, которую мы условимся называть д о к а з а т е л ь с т в о м с у щ е с т ­ в о в а н и я . В этой части решения мы устанавливаем, что фигура, обладающая требуемым свойством максимальности или минималь­ ности, непременно д о л ж н а существовать. Наконец, после прове­ дения обеих указанных частей решения мы говорили, что, посколь­ ку имеется лишь одна фигура, которая м о ж е т обладать требуемым свойством минимальности или максимальности, а с другой стороны, фигура, обладающая этим свойством, непременно с у щ е с т в у е т , то, следовательно, найденная фигура действительно о б л а д а е т требуемым свойством. Этим решение задачи на максимум или минимум и завершилось. Итак, целью анализа является нахождение фигуры, которая м о ж е т обладать требуемым свойством максимальности или мини­ мальности ) . Д о к а з а т е л ь с т в о с у щ е с т в о в а н и я устанав­ ливает, что фигура, обладающая требуемым свойством, непременно существует. Из этих двух частей (анализ и доказательство суще­ ствования) состояло решение каждой из рассмотренных выше задач. По той же схеме будет построено и решение последующих задач. Остановимся на вопросе о роли каждого из двух отмеченных этапов решения задачи на отыскание наибольших и наименьших значений. В большинстве случаев основные трудности при решении задачи представляет анализ; доказательство существования чаще всего вытекает естественным образом из хорошо известных общих теорем (теорема Больцано—Вейерштрасса, известная из курсов 1 ГМРЕИ ЗДЧ Н МИМ И ММ Е Е ЧК А И А АМ О Т СЕ А И КУ С ИУ НМ И ) Разумеется, может случиться, что существует не одна, а несколько фигур, обладающих требуемым свойством минимальности (или максимально­ сти); в таком случае задача анализа заключается в выделении всех этих фигур. г