* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

286 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ общую точку с линией L . При этом возможны два случая: либо общей точкой линий L и / * является к о н е ц линии L (рис. 27, а), либо же общая точка X линий L и / * является в н у т р е н н е й точкой линии L (рис. 27, б). Ясно, что во втором случае окруж­ ность /* и линия L к а с а ю т с я друг друга в точке X. Таким образом, мы приходим к следующему заключению: бли­ жайшая к А точка X линии L либо является концевой точкой этой линии, либо обладает тем свойством, что проходящая через X линия уровня /*, т. е. окруж­ ность с центром А, касается линии L . В частности, если линия L — п р я м а я (рис. 28), то самой близкой к А точкой этой ли­ нии является, как известно, основание пер­ пендикуляра АХ, опущенного на эту пря¬ х мую (ибо перпендикуляр короче наклонной). Следовательно, по указанному выше, ок­ ружность с центром А, проходящая через точку X, касается прямой L. Таким обра­ зом, мы получаем хорошо известный факт: касательная к окружности перпенди­ кулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Вернемся теперь к случаю произвольной кривой L . Поскольку окружность с центром А касается кривой L в точке Л* (рис. 27, б), то радиус АХ окружности, перпендикулярный, по доказанному, к общей касательной t линий L и /*, проведенной в точке X, является нормалью в точке X к кривой L . Итак, ближайшая к А точка X линии L либо является концевой точкой этой линии, либо обладает тем свойством, что АХ—нормаль к кри­ вой L , проведенная в точке X (рис. 29, а, б). Аналогичное утверждение справедливо и в том случае, если X—наиболее у д а л е н н а я от А точка ограниченной линии L (рис. 30). Хорошей иллюстрацией может служить известная за­ дача о нахождении ближайшей к А и наиболее удаленной от А точки окружности L (рис. 31). Из сказанного вытекает также, что если L и L —dee гладкие линии, a X X —кратчайшее расстояние между их точками, то либо Х — концевая точка линии Ь , либо Х Х — нормаль к L в точке X , и аналогичное утверждение справедливо для точки Х (рис. 32). Такое же утверждение справедливо для отрезка Y Y , реализующего наи­ большее расстояние между точками линий L и L . На рис. 33 показаны наибольшее и наименьшее расстояния между точками двух окружностей. 1.5. Примеры. Рассуждения, проведенные в предыдущем пункте при решении задачи о наименьшем или наибольшем расстоянии x 2 L 2 х г г 2 x L г X 2 x %