* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 243 + Ь±_.ОА +... 2 А а +'^.ОА . к к Так как, очевидно. у + у + • . + ^ = 1 . т о . в силу предположения индукции, точка N принадлежит выпуклой оболочке точек Л , Л , А (рис. 118) и, значит, она подавно принадлежит вы­ пуклой оболочке G точек А * А , .... A A Наконец, X + X +i = х 2 kt k+V ft • = ( х 1 + . . . +xft)+x fc+1 =i и ^=xr^1+...+xft.^ft+xfe+1a4 4i==' f t f t + 1 04, + . . . + ^ - ^ ) + X -M f r + l =X.o7v + X k+l к f t + 1 -0^ f t + 1 , откуда видно, что точкаМ лежит на отрезке NA (рис. 118). Но так как о б е точки N, А +\ принадлежат в ы п у к л о м у телу О, то и точка М принадлежит этому телу. Тем самым доказано, что любая точка М тела G принад­ лежит телу G, т. е. тела б и G совпадают. Теорема доказана. Пусть в л-мерном евклидовом пространстве даны л + 1 точек Л , А А которые не лежат в одной гиперплоскости. Многогранник, Рис. 118. являющийся выпуклой оболочкой этих точек, называется n-мерным симплексом (ср. стр. 360). Так, одномерный симплекс представляет собой выпуклую оболочку д в у х точек в одномерном пространстве (т. е. на прямой); иными словами, одномерный симплекс является о т р е з к о м (рис. 119,а). Двумерный симп­ лекс, т. е. выпуклая оболочка трех точек на плоскости, представляет собой т р е у г о л ь н и к (рис. 119, б). Трехмерным симплексом является т е т р а э д р (рис. 119, в). Таким образом, л-мерный симплекс представляет собой п-мерное обобщение треугольника (или тетраэдра). Так как любые л точек л-мер но го евклидова пространства лежат в одной гиперплоскости, то никакой «настоящий» л-мерный многогранник (т. е ие ле­ жащий целиком в гиперплоскости, или, иначе, содержащий внутренние 0 ъ П1 точки) не может иметь менее л + 1 вершин. Таким образом, л-мерный сим­ плекс имеет наименьшее число вершин среди всех л-мерных многогранников и в этом смысле является п р о с т е й ш и м л-мерным многогранником. Этим и объясняется его название (ведь слово «симплекс»—латинское simplex—как раз и означает «простой»). Из простейших л-мерных многогранников, т. е. из симплексов, можно «сложить» л ю б о й л-мерный выпуклый многогранник. Так, например, хо­ рошо известно, что любой выпуклый многоугольник можно разбить на тре­ угольники, даже на треугольники, вершинами которых будут являться вер­ шины данного многоугольника (рис. 120). Точно так же любой (трехмерный) выпуклый многогранник можно разрезать на тетраэдры (на рис. 121 показано