* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ 237 же число эт вывается (см. стр. 234). Однако тот факт, что э т о встречается в формулах v = — nR , о 3 s = 4nR , 2 относящихся к шару, является весьма замечательным и нетривиальным: во всей элемен­ тарной математике нелегко указать теорему, сравнимую по своей неожиданности с соотношением р = - | - э т . Еще более удивительно то, что в формулах для объема и поверхности многомерных шаров (см. стр. 247 этой книги ЭЭМ) вновь появляется то же число эт (но уже в некоторых степенях!). 4.6. Периметр и площадь суммы выпуклых фигур. В этом пункте мы укажем без доказательства некоторые теоремы о периметре и площади фигуры F -\-F , ^ ^ i ?г— заданные выпуклые фигуры. Т е о р е м а . Периметр фигуры F + F равен сумме перимет­ ров фигур F и F : l(F -{~F ) = l(F ) + l[F ). (При этом, если какая-либо из фигур F , F представляет собой о т р е з о к длины а, то периметр этой фигуры следует считать равным 2а, т. е. отрезок мы представляем себе в виде «двусторонннка», состоящего из двух совпавших сторон длины а.) В качестве примера применения сформулированной теоремы ука­ жем, что если F—произвольная выпуклая фигура, a F' — ee г-окрестность (рис. 97), то периметр фигуры F' равен 1-\-2пг, где I—периметр фигуры F. В самом деле, мы имеем F' = F-\~C где С — круг радиуса г (см. стр. 222), откуда и вытекает требуе­ мое утверждение. г е и x 2 x 2 x 2 1 t 1 % x z rf г Из сформулированной теоремы вытекает также следующий интересный факт, установленный французским математиком Б а р б ь е : любая фигура постоянной ширины d имеет периметр nd. В самом деле, пусть F—фигу­ ра постоянной ширины d, a F*—фигура, симметричная ей относительно некоторой точки. Обозначим периметр фигуры F через /; тогда и фигура F' имеет периметр /. Фигура же F + F' имеет, согласно сформулированной выше теореме, периметр 1 + 1, т. е. периметр 21. Но F + F" есть к р у г радиуса d (см. стр. 221), и потому его периметр равен 2nd. Таким образом, 21 = 2nd, откуда и вытекает, что периметр / фигуры F равен nd. Для п л о щ а д и фигуры F + F уже нет такого точного утвер­ ждения, как для периметра. Равенство s(F + F ) = s(F )+s(F ), которое, по аналогии с периметрами, может в первый момент прийти в голову, места н е и м е е т . Именно, имеет место следующая Т е о р е м а . Для любых (двумерных) выпуклых фигур F F справедливо неравенство s (F + F )>s [F ) + s (F ). Иными словами, величина s{F + F ) — s(F ) — s(F ) всегда по­ ложительна; половину этой величины обозначают через s(F , F ) и называют смешанной площадью выпуклых фигур F и F : 1 2 1 2 1 2 lf 2 x 2 x 2 t % x 2 x 2 x 2 s(F , x F )=^[s{F 2 l + F ) — s{F )—s(F )]. 2 1 2 x % Это соотношение пере­ 1 писывается в виде равенства s{F + F ) = s{F ) h * ( ^ ) + * ( i> ^2)» 2 F 2