* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

234 ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА Т е о р е м а . Если выпуклая фигура F' подобна выпуклой фи­ гуре F с коэффициентом подобия k то периметры / ' , I и пло­ щади s\ s этих фигур связаны соотношениями Г= Л/, s' = k s. В самом деле, пусть а—преобразование подобия (с коэффи­ циентом А), переводящее фигуру F в F\ Пусть далее М Af М , . к а к а я - л и б о последовательность выпуклых мно­ гоугольников, сходящаяся к фигуре F. Тогда последовательность М М , . - - , М ,... многоугольников, получающихся из М М ... . . . , Л1 , с помощью преобразования а , сходится *) к фигуре f 2 1% 2f п 19 2 п Хч %% п 9 9 п F'. Но, как известно, периметры /„, /„ многоугольников М , М / nl 2 n 9 п и площади s s этих многоугольников связаны равенствами 1 — = kl , s = k s . Переход к пределу в этих равенствах при л—*-со и дает требуемые соотношения. Доказанную теорему можно применить к вычислению длины окружности и площади круга. Обозначим площадь круга /С , имею­ щего радиус 1, через я . Пусть теперь К—круг произвольного радиуса R. Так как круг К может быть полу­ чен из К преобразованием подобия с коэффи­ циентом подобия R то площадь s круга К связана с площадью я круга К соотношением $ = / ? - я . Итак, для площади круга радиуса R мы имеем формулу $ = я / ? . Пусть теперь М — произвольный описан­ ный многоугольник круга К (рис. 114). Разбив многоугольник М на треугольники с общей Рис. 114. вершиной в центре О к р у г а К, мы найдем, что периметр 1 и площадь s многоугольника М связаны соотношением s = ~ l -R. Поэтому, взяв последователь­ n n n 0 0 y 0 2 2 п п n п n n ность М 1% M 2t М , я описанных многоугольников, сходящих­ n n ся к кругу К, и переходя к пределу, мы получим \\ms = ~ / ? l i m / , или 5 = у / ? * / , где /—периметр круга К (т. е. длина окружности радиуса R). Таким образом, для длины окружности радиуса R мы получаем ф ° Р У м у л , 2s 2лД _ / = 1Г = - / Г = 2 л / ? . п а В заключение заметим, что, хотя площадь и периметр опреде­ лены здесь не во всей возможной общности, а лишь для сравни­ тельно узкого класса фигур (а именно, выпуклых фигур), они сов) Это, например, вытекает из того очевидного факта, что если фигуры F и G' получаются из F и G преобразованием подобия с коэффициентом k, то o ( F \ G') = /ro(F, G). 1