* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ 219 § 4. Периметр, площадь, объем 4.1. Сложение выпуклых фигур. Выберем на плоскости некото­ рую точку О. Если А и В—две произвольные точки плоскости, то точку С, удовлетворяющую соотношению ОС=ОА-\-ОВ (рис. 90), мы будем называть суммой точек А\\ В\\ будем писать С —А + В. Пусть теперь F и F — две выпуклые фигуры. Рассмотрим все­ возможные суммы А = А + А , где точки А и А пробегают фигуры F и F соответственно. Множество получающихся точек А представляет собой некоторую фигуру F, которую мы будем называть суммой выпуклых фигур F и F : F=F + F (рис. 91). Полезно иметь в виду следующее геометри­ ческое описание операции сложения выпуклых фигур. Зафиксируем точку А фигуры F ; тогда всевозмож­ ные суммы вида А -\-А где А пробегает все точки фигуры F , заполняют выпуклую фигуру A -\-F которая получается из F параллельным переносом на вектор ОА (рис. 92, а). Множество всех фигур A -\-F где А пробегает все точки фигуры F заполняет инте­ ресующую нас фигуру F + F (рис. 92,6). Укажем в качестве примера, что если F и / ^ — о т р е з к и , то F + F будет отрезком (если F и F параллельны, рис. 93, а) или параллелограммом (если Т ^ / ^ , рис. 93, б). Из этого непос­ редственно вытекает, что сумма любых двух выпуклых фигур сама является выпуклой фигурой. В самом деле, пусть А = А -\-А и В = В + В — две точки фигуры F = F + F (рис. 94). Тогда фи­ гуре F (в силу ее выпуклости) целиком принадлежит отрезок АВ а фигуре F — отрезок A B Отсюда следует, что фигуре F цели­ ком принадлежит сумма А В + А В , представляющая собой, как мы знаем, отрезок (рис. 94, а) или параллелограмм (рис. 94, б). Точки А и В принадлежат получающемуся отрезку (рис. 94, а) или являются противоположными вершинами параллелограмма (рис. 94,6). И в том, и в другом случае отрезок АВ целиком принадлежит фигуре F откуда и вытекает ее выпуклость. Из свойств сложения векторов сразу следует, что справедливы со­ отношения F + F =F + F ( / 4 + ^ 2 ) + ^ 3 = ^ 1 + ( ^ 2 + ^ 3 ) (эту по­ следнюю сумму мы будем обозначать просто через F + F + F без скобок). Данное определение суммы выпуклых фигур, конечно, зависит от положения слагаемых и, кроме того, от выбора точки О. Пока­ жем, однако, что при изменении точки О и при параллельном переносе слагаемых сумма фигур лишь подвергается параллель­ ному переносу (так что форма ее не меняется). В самом деле, пусть точка О заменяется точкой О'. Тогда точка А = А + A x 2 1 2 г 2 t 2 x 2 X 2 г t г г% 2 2 t 2t 2 г x 2i г v x 2 ± x 2 x 2 7 х 2 1 2 X t ± г и 2 2 V 1 1 2 2 t 1 2 2 ll x 2 3 г t