* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫПУКЛЫХ ФИГУР 197 нения (и многих аналогичных), мы и условились считать фигуры з а м к ­ нутыми. Д о к а з а т е л ь с т в о того факта, что в произвольной замкнутой огра­ ниченной фигуре существуют такие две точки, расстояние между которыми — наибольшее, может быть проведено только средствами математического ана­ лиза. Например, такое доказательство легко получить, используя свойства непрерывных функций. В самом деле, если М, N—две произвольные точки плоскости и р(М, N)—расстояние между ними, то функция р (М, -V) не¬ п р е р ы в н а по At и N (что вытекает, например, из формулы р(М, * 7 = А) == V"(x —Хх) + (y —y{f, « где (x у ) и (x $/ )—координаты точек М и N в прямоугольной системе координат). Но всякая непрерывная функция (в данном случае от двух переменных М, TV), аргументы которой меняются в з а м к н у т о м ограниченном множестве, обязательно достигает своего наибольшего (и наименьшего) значения. Саедовательно, найдутся такие две точки Л, В фигуры F, что р(Л, B)^>p(M +\) для любых точек М, N фи­ гуры F . Расстояние d—p(A В) между такими двумя точками и представ­ ляет собой диаметр фигуры (см. стр. 195). 2 a z lt х 2t а t f Пусть d — диаметр выпуклой ограниченной фигуры F и А В — такие две ее точки, расстояние между которыми равно d (мы знаем, что такая пара точек, вообще говоря, не единственна). Нетрудно видеть, что прямые 1 и 1 , проведенные через точки А и В пер­ пендикулярно к отрезку АВ, являются опорными прямыми фигуры F (рис. 36). В самом деле, фигура F целиком заклю­ чена в полосе между прямыми / и 1 (если бы нашлась точка М фигуры F, ле­ жащая вне этой полосы, то хотя бы одно из расстояний MA, МВ было бы больше d, что невозможно). Таким образом, фигу­ ра F расположена по одну сторону от прямой 1 и по одну сторону от прямой 1 . (Заметим, что частным случаем этого рас­ суждения является доказательство изве­ Рис. 36. стной теоремы о перпендикулярности % А В л в А В касательной к окружности и диаметра, проведенного в точку каса­ ния.) Из тех же соображений легко заключить, что прямая 1 имеет с фигурой F только о д н у общую точку Л, а прямая 1 — только одну общую точку В. Диаметр выпуклого тела в пространстве определяется так же, как и для плоской выпуклой фигуры. Нетрудно видеть, что если Л и В—две точки выпуклого тела F, расстояние между которыми равно его диаметру d, то плоскости, проведенные через точки Л и В перпендикулярно к отрезку АВ, являются опорными плоскостями этого тела. 2.2. Ширина выпуклой фигуры. Фигуры п о с т о я н н о й ширины. Следующее простое свойство опорных прямых является общим как для выпуклых, так и для невыпуклых фигур: А В