* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
1
185
ни площади, ни периметра ); можно также указать на плоскости линию,), не имеющую точек разветвления и в то же время разре зающую плоскость на три или большее число ф и г у р ) . Для вы пуклых фигур такие чудовищные явления не могут иметь места: внутренняя область выпуклой фигуры сравнительно просто устроена, любая ограниченная плоская выпуклая фигура обладает определен ными площадью и периметром, а пространственное выпуклое тело — объемом и площадью поверхности (ср. стр. 228 и след.) н т. д. Таким образом, выпуклые фигуры составляют класс сравнитель но просто устроенных, —а следовательно, допускающих изучение геометрическими методами, — фигур на плоскости и в пространстве. С другой стороны, класс выпуклых фигур является достаточно обширным. Так, все фигуры и тела, рассматриваемые в элементарной геометрии, либо являются выпуклыми, либо пред ставляют собой несложные комбинации выпуклых фигур и тел: вся кий невыпуклый многоугольник (рис. 3, а) можно разрезать на вы пуклые части (треугольники); круговое кольцо (рис. 3,в) является • разностью» (см. стр. 14) двух кругов разного диаметра и т. п . ) . Теория выпуклых фигур—сравнительно молодая ветвь геомет рии. Основоположниками ее можно считать замечательного швей царского геометра Якоба Ш т е й и е р а (1796—1863) и известного немецкого ученого Германа М и н к о в с к о г о (1864—1909), внес ш е ю в математику много новых ярких идей. Развитие этой теории интенсивно продолжается и в настоящее время; в особенности следует упомянуть ленинградскую школу геометров, руководимую А. Д. А л е к с а н д р о в ы м , американскую школу, возглавляемую Г. Б у з е м а н о м , швейцарскую школу Г. Х а д в и г е р а и венгер скую школу Л. Ф е й е ш а - Т о т а . 1.2. Граница выпуклой фигуры. Пусть F— плоская выпуклая фигура. По отношению к ней все точки плоскости разделяются на три категории: внутренние, внешние и граничные. В н у т р е н н и м и считаются те точки, которые со всех сторон окружены
2 3
*) Ср. стр.44 этой книги ЭЭМ, а также стр. 18—20 второй части статьи В. Г. Б о л т я н с к о г о и В. А. Е ф р е м о в и ч а , указанной на стр. 555. ) См. стр. 24—25 второй части той же статьи В. Г. Б о л т я н с к о г о и В. А- Е ф р е м о в и ч а . ) Авторы склонны даже считать, что подлинно геометрический интерес представляют лишь фигуры и тела, либо сводящиеся к комбинациям выпук лых фигур и тел, либо же ограниченные кусочно гладкими контурами и поверхностями («классические области», ср. стр. 40, 76). Более экзотические «фигуры» (множества на плоскости, не имеющие площади; линии, являю щиеся совместной границей трех и большего числа областей, и т. п.) нахо дятся вне рамок геометрии и изучаются методами других математических дисциплин; топологии, теории функций действительного переменного и т. д.
2 3
