* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

182 ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА § 1. Определение и основные свойства 1.1. Определение. Примеры. Чаще всего в геометрии рассмат­ ривают связные фигуры, т. е. такие, что каждые две точки фигуры можно соединить линией, целиком принадлежащей этой фигуре. При этом соединяющая линия может оказаться довольно сложной (рис. 1). Естественно выделить класс фигур, для которых в качестве линии, соединяющей две ее точки А, Д всегда можно выбрать самую про­ стую линию — прямолинейный о т р е з о к АВ. Такие фигуры называются выпуклыми. Определение. Фигура F называется выпуклой, если вместе с каждыми двумя точками А, В она целиком содержит и весь отрезок АВ. Примеры выпуклых фигур показаны на рис. 2; на рис. 3 изображены некоторые невыпуклые фи­ гуры. Фигуры, изображенные на рис. 2, являются о г р а н и ч е н н ы м и (т. е. каждая из них может быть целиком заключена в круг некоторого ра­ диуса). Существуют также и н е о г р а н и ч е н н ы е выпуклые фигуры, например: полоса, полуплоскость, угол (меньший 180°) и др. (рис. 4). Ясно, что вся плоскость также представляет собой выпуклую фигуру. Кроме плоских можно рассматривать также простран­ с т в е н н ы е выпуклые фигуры (их обычно называют выпуклыми телами, см. стр. 191). Примерами могут служить тетраэдр, парал­ лелепипед, шар, шаровой слой, конус, цилиндр, эллипсоид (рис. 5). Важными примерами пространственных выпуклых тел являются так называемые выпуклые конусы. Выпуклое пространственное тело называется выпуклым конусом с вершиной О, если вместе с каждой отличной от О тонкой А оно содержит и весь луч OA. Например, если F — какая-либо выпуклая фигура, расположенная в плоскости П, а О—точка, не лежащая в этой плоскости, то, проводя из точки О всевозможные лучи, пересекающие фигуру F (рис. 6), мы получим выпуклый конус (конус с вершиной О и «направляющим множест­ вом» F). В случае, когда F — круг с центром Q и прямая OQ пер­ пендикулярна к плоскости П, мы получаем (бесконечный) прямой круговой конус (рис. 7). Если F—полоса, то выпуклый конус К представляет собой д в у г р а н н ы й у г о л (рис. 8); если же F совпадает со всей плоскостью П, то К — полупространство. Наконец, если F—выпуклый м н о г о у г о л ь н и к , то К представляет собой выпуклый м н о г о г р а н н ы й у г о л (рис. 9). Можно доказать, что изображенный на рис. 6 способ получения выпуклых конусов является общим, т. е. л ю б о й (отличный от всего пространства) выпуклый конус К может быть получен таким образом.