* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 179 Наконец, сделаем несколько заключительных замечаний в связи с приведенным доказательством. а) Соотношение s****(Af ) = —1 (см. (33)) показывает, что 2 формула площади прямоугольника не может быть выведена толь­ ко из аксиом (Р) — (6) (без «неэлементарной» аксиомы (а)), ибо величина удовлетворяет аксиомам (Р)—(6), и потому всякое рассуждение на основе аксиом (р) — (б) должно быть одинаково справедливо как для площади s, так и для величины 5 * * * * , б) Совершенно аналогичное доказательство может быть прове­ дено для объемов многогранников в пространстве. В частности, формула выведена объема прямоугольного из аксиом (Р) — (6). L параллелепипеда не может быть в) Весьма интересно следующее видоизменение изложенного доказа­ тельства. Обозначим через M куб с ребром I, а через М —правильный тетраэдр того же объема. Далее расположим все многогранники простран­ ства в трансфинитную последовательность: M М, .... М , М М . М^, М *, (40) 2 l9 2 ш ш + 1 ш2 ш Теперь с помощью формулы (15) определим аддитивную функцию чисел (12). Соответствующий инвариант удовлетворяет соотношениям /(AfJ-0, 1( 3 для (41) f(M )*0 2 (см. стр. 170). Теперь присоединим к величинам (12) еще все двугранные углы а . . . . cty многогранника М и числа (15) дополним до аддитивной функции для чисел я, л/2, <р, а a (с помощью леммы 7). Это дает возможность найти инвариант f{M ). Затем мы добавим еще все двугранные углы многогранника М , и т. д. В результате трансфинитной индукции по последовательности (40) мы определим значение инварианта / (М) для любого многогранника М. Из леммы 6 вытекает, что величина f(M) удовлетворяет аксиоме (р): Если многогранник М разбит на две части М' и М", то и s 3 4 НМ)=1(М')+[{М*). Удовлетворяет инвариант [(М) и аксиоме (у): Если M=N, то f(M)=f(N). (42) (43) 9 Положим теперь для любого многогранника М: v* (M)=v (M)-\-f (М) где v означает обычный объем (удовлетворяющий аксиомам (а)—(б)). Тогда величина v* (М) удовлетворяет аксиомам (Р)—(6) (см. (41), (42), (43)). В то же время о*(М )фо(М ) (44) 2 2 (см. (41)). Далее из соотношения Jf ( " ^ ~ ) ^ ( = сы> (^)) вытекает, что если М—прямоугольный параллелепипед, то / ( М ) = 0, и потому о* (М) = v (М). Итак, величина v* удовлетворяет аксиомам (р)—(6), а для прямоугольных параллелепипедов совпадает с обычным объемом. В то же время для пра­ вильного тетраэдра М имеет место соотношение (44). Следовательно, спра­ ведлива следующая теорема: Пользуясь аксиомами (р)—(6) и формулой объема прямоугольного парал­ лелепипеда, невозможно вычислить объем правильного тетраэдра. 2