* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
178 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ lf 2 ш ш + 1 ш + 2 Многоугольниками Af М М , М , М , . . . снова не исчер пываются все многоугольники плоскости. Возьмем какой-либо не вошедший в эту последовательность многоугольник и обозначим его через М . Далее выберем число f (s (М^)) так, чтобы числа f (s (М )), f (s (М )), . . . f(s(MJ), f(s(M )) f(s{M #)) образовали аддитивную функ цию для последовательности s (М ), s (М ), s (М ), s ( М ) . 2 г 2 V)+1 v г 2 ш ш +х Таким образом мы можем продолжать все дальше и дальше. После построения многоугольников М М, M , М , М М^, Л^щз+г МщЭ. М^з-ц, М , М M ... . . . . М , . . . мы выберем какой-либо не встретившийся в этой последо вательности многоугольник и обозначим его через М », затем М *+ . 1? 2 w ш + 1 ш + 2 и>4 ш 4 + 1 w & r ш в (0 ш х Так мы будем «нумеровать» многоугольники все далее и далее. Можно ли таким путем перенумеровать все многоугольники плоскости? Допустим, что нам это удастся сделать. Тогда мы расположим все многоугольники плоскости в последовательность М„ М , 2 М . ш М *. ш Мш ш 9 М *, ш (36) и для каждого многоугольника М будет определено соответствующее число / (s (М)), причем последовательность /ИМ,)). f(s(M )). 2 f{s(MJ) s(MJ, t.(s{M j). K . . . (37) (38) будет аддитивной функцией для последовательности чисел 8(М^ 8{М ), г «(Af .). u Положим теперь s****(M) = /(s(M)) для любого многоугольникам. Нетрудно понять, что s**** есть модель площади, удовлетворяющая аксио мам (р)—(6). Действительно, если многоугольник М разбит на два много угольника М \ М", то s(M) = s(M') + s(M") (39) в силу (р); так как последовательность (37) является аддитивной функцией для последовательности (38), то из зависимости (39) вытекает зависимость f (s (М)) = f (s (М')) + f (s (M")) (ведь многоугольники М, M' М" где-то встречаются в последовательности (36)), т. е. s**** (M) = s**** (М') + _l_ **** (Д|"). Таким образом, функция $**** удовлетворяет аксиоме (р). Аналогично, если многоугольник М равен многоугольнику iV, то s (М) = s(N) (в силу (у)); поэтому /(s(M)) = /(s(JV)), - - функция s**** удовлетворяет аксиоме (у). Удовлетворяет она и аксиоме (6) (см. (33)). Аксиома же (а) не выполняется, так как s****(Af )<0 (см. (33)). Итак, если бы удалось «перенумеровать» все многоугольники плоскости, то независимость аксиомы (а) была бы доказана. Остается заметить, что в математике д о к а з ы в а е т с я возможность «перенумеровать» элементы л ю б о г о множества символами f s т е 2 I. 2, . . . со, со + 1. 0)2, 0)3, ш , ш +1 а) + а). . . . Эти символы называются трансфинитными числами, а метод доказательства, заключающийся в переходе от уже рассмотренных трансфинитных чисел к большим, называется трансфинитной индукцией. Точное определение трансфинитных чисел и трансфинитной индукции (и на основе этого завер шение доказательства независимости аксиомы (а)) н е э л е м е н т а р н о и ие может быть приведено в данной статье. Для читателя, знакомого с транс финитными числами, завершение изложенного доказательства не представ ляет никакого труда. а 2 2