* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ W W 177 проверяется, что построенная модель 5 * удовлетворяет всем аксиомам, кроме (у) (аксиоме (6) удовлетворяет любой квадрат со стороной 1, лежащий целиком в верхней..* полуплоскости). Остается рассмотреть вопрос о независимости аксиомы (а). Доказатель­ ства этой независимости мы не можем в этой статье привести полностью, так как это доказательство существенно н е э л е м е н т а р н о . Однако основ­ ную идею такого доказательства (тесно связанную с методами, применен­ ными при доказательстве теорем Хадвигера и Дена) мы изложим. Обозначим через М какой-либо квадрат со стороной, равной 1, а через Л1 —некоторый прямоугольник, имеющий иррациональную площадь, напри­ мер прямоугольник со сторонами 1 и |^5. Так как числа х 2 s (Mj) = 1 и s (Д1 ) = \ГЪ 8 (32) (33) 3 3 несоизмеримы, то (ср. стр. 167), положив t(s(M ))=\ t 9 U*(M%))~-i* мы получаем аддитивную функцию для чисел (32). Пусть теперь М —про­ извольный многоугольник. По лемме 7 можно подобрать такое число / (5 (Л4 )), чтобы числа /(s(Mx)), f(s(M )), f(s{M )) составили аддитивную функцию для чисел s(Mi), s(M ), s(M ). Выбрав теперь еще один (какой угодно) многоугольник Л1 , мы сможем (опять по лемме 7) выбрать число /(s(A4 )), образовав аддитивную функцию f(s(M )), /(s(M )), /(s(M )), f{s(M )) для чисел s(M ), s(M ), s(Af ), s(M ). Продолжая выбирать многоуголь­ ники Mi и находить числа /(s(M/))» мы получим некоторую последова­ тельность многоугольников Л*1, М , Л 1 , . . . и две последовательности чисел z z 2 3 4 4 l 2 3 4 x 2 3 4 2 3 s(M ), s(Afe). s(M ), (34) HsWd), /(s(M )), t(s(M )) ... (35) Эти последовательности обладают тем свойством, что для любого к о н е ч ­ н о г о набора чисел, выбранных из верхней последовательности, соответ­ ствующие числа нижней последовательности образуют аддитивную функцию. В этом случае мы будем говорить, что последовательность (35) является аддитивной функцией для последовательности (34). Многоугольниками M М , . . . . Af , . . . не исчерпываются все много­ угольники плоскости. Выберем какой-нибудь многоугольник, не вошедший в эту последовательность, и обозначим его чегез Л1 . Теперь подберем число / (s (MJ)) таким образом, чтобы последовательность / (s (Мj)), /(s(M )), . . . . / ( s ( M ) ) , /(5(М )) была аддитивной функцией для последовательности stMj), s(M ) s(M ) s ( M ) , т. е. чтобы (для любых номеров i . . . . /д) числа / ( s ( M ) ) , /(s(M/ )), l(s{M )), f (s(M )) составляли аддитивную функцию для чисел «(М,-,), s(M/ ) . . . .... 8{М^ s(M ). Возможность такого выбора числа l(s(M )) вытекает из леммы 7 (правда, в лемме 7 речь шла о к о н е ч н о м множестве чисел, а в последовательностях (34), (35) их бесконечно много; однако, как не­ трудно проверить, лемма 7 и ее доказательство остаются справедливыми и в этих условиях). Теперь выберем еще многоугольник М и такое число / ( 5 ( М + х ) ) . чтобы последовательность / ^ ( M J ) , /(s(M )), . . . . f(s(M )) f (s (М 1)) была аддитивной функцией для последовательности s (Л^), s(M ) s(M ) s(M ). Затем мы выберем М и Цв{М ,+ )). т. д. В результате мы получим две последовательности: s(M ) s(M ), . . . . . . . « ( А О . s(Af ), s ( M ), /(*(Aii)). /Г*(Л«,)), f(«(AfJ). /(s(A1 |)), f (s(M ))t •••» вторая из которых является аддитивной функцией для первой. t 3 2 3 t lt 2 B Ш a n Ш 2 n t w it /( 9 ik s f Ш w v ш+1 ш a w t ш+ 2 m f w+1 и ) + 2 ч 2 l f 2 + 1 liI+2 tl)+ m+z