* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 171 С л у ч а й 1. Между числами (21) не существует никакой зависимости л а , + л а + . . . -\-n a + пу = 0, в которой коэффи­ циент л при числе у был бы отличен от нуля. Иначе говоря, число у ни в одну зависимость не входит. В этом случае число /(у) никакими условиями не связано, т. е. за f(y) можно принять л ю б о е действительное число. С л у ч а й 2. Между числами (21) имеется зависимость, в кото­ рую входит число у А 2 2 k k : па х х + л' а + . . . + n a 2 2 k k + п'у = О, л ' Ф 0. (22) В этом случае мы определим число f(y) п\/{а ) 1 из соотношения к + п /(а )+ 2 2 .. . + п' /{а ) к + п'/[у) = 0, (23) т. е. положим: Покажем, что таким путем мы получаем аддитивную функцию для чисел (21). Пусть па х х + л а + •-• + na 2 а k k + пу = 0 (24) — какая либо зависимость между числами (21) (отличная от зави­ симости (22) или совпадающая с ней). Мы должны показать, что такая же зависимость имеется и между числами (20), т. е. что имеет место соотношение *i/<«i> + л,/(<х ) + . . . + nrf{a ) 2 h + nf(y) = 0. (25) Покажем это. Умножим соотношение (24) на л ' и вычтем из него соотношение (22), умноженное на л: ( л ' л — nn )a -T(n'n —пп )щ-\4 - . . . + ( л ' л — n n k ) a = 0. Мы получаем зависимость между чис­ лами (16), и так как (18) есть аддитивная функция для этих чисел, то имеет место соотношение (п'п — nn^)f(a ) + ( л ' л — л л ) / ( с ь ) + + . . . + ( л ' л — л л * ) / ( а ) = 0. Прибавив к этому соотношению ра­ венство (23), умноженное на л, найдем: л ' л / ( а ) + л ' л / ( а ) + . . . + + n'fijjXa^ + л ' л / ( у ) = 0. Наконец, сокращая это равенство на число п'фО, мы и получим (25). Таким образом, числа (20) дают нам аддитивную функцию. Л е м м а 8. Пусть А — многогранник, произвольным образом разбитый на конечное число меньших многогранников M М, ..., . . . , M . Обозначим через aXf ct , . . а (26) А x v 2 2 А k х x 2 2 2 А А 1 1 2 2 Xf % k 2 р все двугранные углы многогранника Yi. Y > 2 А, а через Yr ( ) 2 7