* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 169 Отсюда на основании равенства (10) получаем: cos (ft-f 1)<р = Ь 2а—96 2__а Так как число а и число 2 не делятся 3 " з* ft-i ft+i на 3, то числитель 2а— 9Ь также не делится на 3. Индукция про­ ведена. Т е о р е м а Д е н а . Куб и правильный тетраэдр, имеющие одинаковый объем, не равносоставлены. Д о к а з а т е л ь с т в о . В правильной треугольной пирамиде ABCD опустим из точки D высоту DE (рис. 35). Точка Е является центром равностороннего треугольника ABC, так что отрезок AF, проходящий через точку Е, есть медиана. Поэтому F — сере­ дина ребра ВС, а отрезок DF является медианой треугольника BCD. Отрезок EF составляет третью часть медианы AF или медианы DF, т. е. EF:DE=\:3. Иначе го­ воря, обозначив через ф угол F прямоуголь­ ного треугольника DEF (т. е. двугранный угол тетраэдра ABCD) мы найдем: = = 3 3 y cos ф = 1/3. (11) Рис. 35. Теперь применим теорему Хадвигера. Каждый двугранный угол куба А равен \ двугранный угол правильного тетраэдра В мы обозначили через ф. Поэтому числа (5), о которых идет речь в теореме Хадвигера, здесь будут следующими: п (12) Найдем, какие зависимости существуют между этими числами. Пусть имеется зависимость п п + п ~ + п ф = 0, х 2 г х 2 3 1 2 3 (13) где п , п , п — целые числа. Тогда (2/г + л . ) я + 2 л ф = 0, т. е. мы получаем зависимость между числами я и ф. Но такой зави­ симости с ненулевыми коэффициентами не существует, так как, в силу леммы 6, угол ф несоизмерим с я (см. (11)). Поэтому 2/z -J-/z = 0, п = 0 и соотношение (13) принимает вид 1 2 3 + 2п ) "2- = 0. х (14) Других зависимостей между числами (12) нет. Положим: Дя)=/(-£)=0, /(ф)=1. (15)