* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

16b" РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ Доказательство теоремы Хадвигера мы рассмотрим ниже (стр.170), а сейчас покажем, как из нее вытекает теорема Дена о неравно­ составленности куба и правильной пирамиды. 3,2. Теорема Дена. Докажем прежде всего следующую лемму, с помощью которой легко установить (на основании теоремы Хад­ вигера) справедливость теоремы Дена. Лемма ществует 6. Число < = arccos-|- неизмеримо p зависимости пу + пп = 0 х г Ху 2 с я , т. е. не су­ никакой (9) с целыми, отличными от нуля коэффициентами п п. Доказательство проведем методом «от противного:;. Допустим, что имеет место соотношение (9), в котором п фО. Мы можем считать, что п >0 (иначе можно было бы в соотношении (9) изме­ нить знаки на обратные). Так как n if =— п п есть целочислен­ ное кратное угла я , то cos п ц> равен или + 1 , или — 1 , т. е. является целым числом. Это утверждение мы и приведем к противо­ речию. Именно, мы покажем, при каком целом k>0 число cosktp не является целым. На основании теоремы сложения, известной из курса тригоно­ метрии, мы можем написать: х х x 2 х cos {k + 1) <р = cos (ktp + ф) = cos kq> cos < — sin kq> sin — ф) = cos k

0 не является целым. Для k — 1 и £ = 2 это утверждение непосредственно проверяется со5ф=^-^, соз2ф — 2 7 = 2соэ ф—1 ~9~—1 — 2 = д • Предположим, что для всех чисел индукции, имеем: 1, 2, . . ., k наше утверждение доказано, и докажем его для числа ft + 1 . Согласно = -А_ 1 предположению Г cos (к—1)ф cosfop=-^, о д е а и & — целые числа, не делящиеся па 3.