* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

156 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ метода пределов (или метода исчерпывания), на основе только методов разбиения или дополнения? Иными словами, любые ли два тетраэдра с равными основаниями и равными высотами равносоставлены или дополняемы равными частями до равносоставленных многогранников'} Эта проблема известна под названием т р е т ь е й п р о б л е м ы Г и л ь б е р т а : в числе других важных проблем математики, она была выска­ зана известным математиком Д. Г и л ь ­ б е р т о м в 1900 году. Разумеется, можно было бы поста­ вить эту проблему и в иной форме, сравнивая не два тетраэдра, а тет­ раэдр и прямоугольный параллелепи­ пед (для которого формула объема уже известна). Так мы приходим к следующей формулировке по сущест­ ву той же проблемы: всякий ли тет­ раэдр равносоставлен с некоторым прямоугольным параллелепипедом (того же объема)? Как установил еще в 1896 году английский математик Х и л л, тетраэдры, равносоставленные с прямоугольным параллелепипедом, с у щ е с т в у ю т . Пример такого тетраэдра приведен на рис. 23, а; здесь АВ, ВС и CD — взаимно перпендикулярные ребра, имеющие одинаковую длину а. На рис. 23, б показано разбиение этого тетраэдра на четыре многогранника; на этом чертеже отрезки ВМ и MN имеют длину ~ . На рис. 23, в показано, как следует перегруппировать эти четыре многогранника, чтобы из них сложить прямую треуголь­ ную призму (рис. 23, г). Таким образом, тетраэдр ABCD равносо­ ставлен с прямой треугольной призмой, а потому и с прямоуголь­ ным параллелепипедом. Если бы это оказалось так для л ю б о г о тетраэдра, то принципиально можно было бы построить теорию объемов многогранников, ни разу (после установления формулы объема параллелепипеда) не использующую метода пределов или метода исчерпывания. Однако на обе поставленные проблемы приходится дать о т р и ­ ц а т е л ь н ы й ответ. Оказывается, что методы разложения и до­ полнения вообще б е с с и л ь н ы для установления формулы объема пирамиды. Для вывода этой формулы н е о б х о д и м о применение более сложного метода (метода исчерпывания, метода пределов или иного эквивалентного метода). Это было установлено в 1901 году М. Д е н о м , который показал, что существуют многогранники, имею­ щие равные объемы, но не равносоставленные. В частности, куб и