* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

136 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Каждая полоса ширины h/n содержит 2т—1 треугольников, равных треугольнику ABC (и еще два «боковых» треугольника, которыми мы пренебрегаем), а всего таких полос имеется п. По­ этому в рассматриваемом вписанном «многограннике» имеется л ( 2 т + 1) треугольников, равных треугольнику с вершинами /(А), / ( В ) , / ( С ) , и потому площадь 5 вписанного «многогранника» удовлетворяет неравенству s > n ( 2 m + l ) / ? 2 s i n ^ ( l — c o s ^ ) . Так как в правой части неравенства все множители отличны от нуля, то, взяв любое /и, мы можем за­ тем найти настолько большое л, чтобы площадь вписанного «мно­ гогранника» была столь велика, как нам хочется. Заметим, что, взяв числа тип достаточно боль­ шими, мы можем сделать все грани вписанного «многогранни­ ка» как угодно малыми. Следо­ вательно, существуют вписан­ ные в А «многогранники», имеющие сколь угодно малые площадь (хотя простой кусок Л Рис. 39. грани и сколь угодно квадрируем). большую Таким образом, сформулированная в начале пункта «теорема» неверна. 5.6. Аксиоматическое определение площади поверхности. Пло­ щадью мы называем функцию s, заданную на классе всех квадри­ руемых простых кусков и удовлетворяющую условиям (а) — (е). Можно доказать (примерно так же, как в § 4, но с некото­ рыми усложнениями), что на классе всех квадрируемых простых кусков существует одна и только одна функция s со свой­ ствами ( а ) — (6) ( т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я и е д и н с т в е н ­ ности). Отметим, что для доказательства теоремы существования нужно ф а к т и ч е с к и построить некоторую функцию s и доказать, что она обладает свойствами ( а ) — ( е ) , т. е. нужно дать к о н с т р у к ­ т и в н о е определение площади. При этом, в силу причин, изло­ женных в предыдущем пункте, мы не можем (по аналогии со ска­ занным в п. 4.2) воспользоваться точной верхней гранью площа­ дей вписанных ^многогранников», так как этой верхней грани может просто не существовать. Однако мы можем воспользоваться другим конструктивным определением длины, намеченным в замечании к п. 4.3. Обобщая это определение на случай площади поверхности, мы приходим к следующему определению: