* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ 129 Таким образом, при г < б мы имеем (см. (21)): т(0(А, г)) > 2г (/ (Л)—е), откуда и вытекает первое из неравенств (16). Сформулированная теорема полностью доказана. Приведем теперь определение длины по Хаусдорфу. Пусть М—произвольное ограниченное множество иа плоскости и г—поло­ жительное число. Выберем каким-либо образом конечное число кругов, каж­ дый из которых имеет радиус < г и сумма которых содержит все множе­ ство М (рис. 32). Обозначим через 2 сумму диаметров всех этих кругов. Мы можем, конечно, по-разному выби­ рать круги радиуса ^ г, сумма кото­ рых содержит все множество М, и каждый раз будем получать некото­ рое значение 2 (сумма диаметров кру­ гов). Обозначим через о т о ч н у ю н и ж н ю ю г р а н ь всех получае­ мых таким образом величин 2 (при неизменном г). Легко понять, что если г' < г, то о* Таким обг' разом, величина а определена при любом г >0 и в о з р а с т а е т , если число г убывает. Поэтому могут пред­ ставиться две возможности: либо величина о> н е о г р а н и ч е н н о Рис. 31. в о з р а с т а е т при г -+ 0, либо же она ограничена, и тогда существу­ ет предел lim о> (разумеется, при вычислении этого предела число г г г принимает только положительные значения). В первом случае множество М считают неспрямляемым по Хаусдорфу; во втором случае множество М спрямляемо по Хаусдорфу и число /хаусд(А1) = lim а называется длиной г этого множества в смысле Хаусдорфа. Для всякой спрямляемой простой дуги А выполняется соотношение /хаусд(Л)=/(Л). Доказательство сравнительно несложно, но мы его приводить не будем. Отметим еще (также без доказательства), что если плоская фигура имеет положительную площадь, то она не спрямляема ни по Минковскому, ни по Хаусдорфу. Определения Минковского и Хаусдорфа являются к о н с т р у к ­ т и в н ы м и (аие аксиоматическими) определениями длины. На классе всех спрямляемых (в смысле § 3) простых дуг эти определения экви­ валентны конструктивному определе­ нию длины, приведенному в п. 4.2 (верхняя грань длин вписанных лор до маных). Поэтому для доказательства теоремы существования в п. 4.2 мож­ но было с равным успехом восполь­ зоваться любым из этих трех конструктивных определений; например, мож­ но было проверить, что длина по Минковскому обладает (на классе спрямля­ емых простых дуг—в смысле § 3) свойствами (а)—(е). Однако определения длины по Минковскому и Хаусдорфу имеют то преимущество, что они и с Энциклопедия, кн. 5