* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

128 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ m(Oa.r+a))<(/(L) + ^ Таким Это образом, неравенство т(0(Л, [2 (г + с)]. г)) < ( ' ( Л ) + - ~ г^2г -f 2о7 (Л) + 2 я г о + я о . при любом a > 0, и потому а справедливо т ( 0 ( Л , г ) ) < ^/(Л) + -^-г^ 2г. Из доказанного неравенства вытекает, что п р и о г < — е справедливо второе из неравенств (16). Обратимся теперь к первому из неравенств (16). Прежде всего заме­ тим, что если L—ломаная с концами Л и В, то m ( 0 ( I , г ) ) ^ 2 г р ( Л , В). (17) Доказательство этого соотношения для случая двухзвенной ломаной ясно из рис. 30, а далее идет очевид­ ная индукция. Пусть теперь Л— произвольная спрямляемая простая дуга и a— произвольное положи­ тельное число, меньшее чем г. Выбе­ рем такую ломаную L с концами А и Рис. 30. В, что d(L, Л) < а. Тогда мы имеем: 0 ( £ , г — а ) С О ( ( Л , с ) , г - <т)СО(Л, г), и потому т ( 0 ( Л , r))^m(0{L, г — c))Ss2(r — a) р (A В) (см. (17)). Так как это неравенство справедливо для любого положительного числа с < г, то t т ( 0 ( Л , г))5*2гр(Л, В). 0 le (18) Пусть теперь r = i 4 i 4 . . Л * — т а к а я вписанная «ломаная» дуги Л, что / ( Г ) > / ( Л ) — | - . Выберем на дуге Л такие точки B В В , что точки lf в л Л , Вц 0 В, Л, 2 2 it В , A л k последовательно расположены на этой дуге /=1, ft. 11 и, кроме того, p(A Р ( А - 1 . i)~P( h A A В/)<^, Тогда потому p(A,-_i. B/)S* B i ) > p ( A / _ i . Л)—2ft • к к Л £ p M / - i . В , ) > £ [p(*f-i. ')-^| = / ( )-у>/(Л)-е. { х Г (19) t Обозначим часть дуги Л, заключенную между точками А _ и В/, через M,i==l, 2 /Е. Так как простые дуги M М M попарно не имеют общих точек, то существует такое число 6 > 0, что при г < 6 множества 0(М г), 0 ( М , г), . . . . 0{M . г) (20) попарно не пересекаются (см. п. 2.2). Так как, кроме того, каждое из мно­ жеств (20) содержится в О (Л, г), то (рис. 31) при г < 6 мы имеем: / п ( 0 ( Л , r ) ) ^ m ( 0 ( M r)) + m(0(M r)) +... +m{О {M , г)). (21) lt 2 k и 2 k l f 2t k Кроме того, учитывая, что концами дуги М/ являются точки j4/_ и В,-, мы получаем, в силу (18), m(0(M r))^s2rp(A,_i, В,), и потому, со­ гласно (19), m{0(M r)) + m(0(M r)) + . . . + m(0 {M r)) > 2r (/(Л)—в). f it lt 2t kt