* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

СПРЯМЛЯЕМЫЕ линии 0 x k 115 такое число, что для любых точек а нены неравенства к к t < i < . . . < t = b выпол­ £=1 1=1 Пусть, далее, Г = А А . . . A — произвольная вписанная «ломаная» дуги Л , Выберем такие числа а = t < t < <^t — b, что f(ti) = A i = l , Л. Так как гипотенуза прямоугольного тре­ угольника меньше суммы его катетов, то p(A;_ A)^l*/('/-i)— — А* д\ + 1У/1 Е-1)—У/УМ • Следовательно, 0 1 k 0 x k iy lt х { 21 * / C - i ) - * / С/) I < л г , 21 j ' / ft-1) - > / ft> I < л * . к к к -*/('#) 2Р ^i) < 21 * / < f / - i ) I+ 2IJV('.-I)-.M'«H< 2Ж". Таким образом, длина любой вписанной «ломаной» Г не превосхо­ дит 2M"j и потому простая дуга Л спрямляема. С л е д с т в и е 1. Всякая гладкая простая дуга (стр. 38) спрямляема. С л е д с т в и е 2. Всякая кусочно гладкая простая ду'га (стр. 38) спрямляема (см. п. 3*4). 3.6. Связь с теорией площадей. Всякая спрямляемая простая дуга А является нуль-множеством в смысле теории площадей (т. е. может быть заключена Т в многоугольную фигуру про­ 2е извольно малой площади, см. стр. 34). В самом деле, пусть М— число, участвующее в опреде­ лении спрямляемости (п. 3.2), Рнс. 20. и Е — некоторое положитель­ ное число. Выберем ломаную L , удовлетворяющую условиям 1{L)^M, d(L Л ) < е . Тогда мы имеем A c O ( Z , е), и доказывае­ мое предложение непосредственно вытекает из приводимой ниже леммы. Л е м м а . Пусть L—произвольная ломаная. Тогда множество 0(L, е) представляет собой квадрируемую фигуру площади t < ( / ( ! ) + - £ в ) 2е. Доказательство легко провести индукцией по числу звеньев ломаной L . В случае одного звена оно ясно из рис. 20 ^площадь фигуры 0(L, е) в этом^случае равна ^/(Z,) + -^-e^ 2 е | . Пусть лемма уже доказана для ломаных, имеющих « < k звеньев, и L = A A 0 X . . . A— k