* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

СПРЯМЛЯЕМЫЕ ЛИПНИ 111 r V является частью ломаной L , и потому i(L)^i(L ) (см. (а) и (р) в п. 1.1). Далее, ломаная V составлена из £ ц ^ 2 1 ••" i ^ A » последовательно примыкающих друг к потому (см. свойство (L')^=l(L ) + l(L )+ . . . + l(L ). ломаная L соединяет точки В _ и B то i(L )^p(B _ 1 t k ( £ ± i9 i i lJ свойства ломаных другу, и Так как B) £ f i= 1, 2, . . . , ft (см. п. 1.4). Наконец, из соотношений р(А i = 0, 1, . . . , ft, мы получаем: р(В _ , £ г ь fyX^ > B )>p(A ^ i i u А;) — 2 ~ . Из написанных соотношений непосредственно вытекает, что /(L) > р И , А ) + р (A 0 х lt A ) + . . . + р (А _ , t А г А ) - 2ft-± = /(Г) - е, А и лемма полностью доказана. Доказанная лемма позволяет очень просто установить, что длина ломаной обладает свойством (е) (см. п. 1.6). Действительно, пусть Л—ломаная линия и A A . . . A — ее вершины, последовательно расположенные на линии Л . Тогда вписанная «ломаная» Г = = АА A совпадает с Л , и доказанная лемма утверждает существование такого числа 6 > 0, что всякая ломаная L для которой d ( A , L ) < 6 , удовлетворяет условию 1{L)> 1(A)— е. 3.2. Определение спрямляемой простой дуги. Отмеченные выше свойства длины ломаной послужат нам теперь для определения класса с п р я м л я е м ы х л и н и й . Именно, мы будем говорить, что простая дуга Л является спрямляемой, если выполнено следующее условие. Существует такое положительное число М, что при любом 6 > 0 найдется ломаная Z,, для которой d(L Л ) < 6 и l(L) ^ М. Иными словами, простая дуга Л называется спрямляемой, если существует такое положительное число М и такая последователь­ ность L L L . . . ломаных, что l i m L = A(T. е. d (L , A)—*0 0l lt y k 0 Х k 9 9 l t £ n 9 n n при n—»-oo) и l(L )^M для любого п. 3.3. Спрямляемость и вписанные «ломаные». В этом пункте мы докажем следующую теорему: Простая дуга А в том и только в том случае спрямляема, если существует такое положительное число М\ что длина любой вписанной в Л «ломаной» не превосходит М'. Эта теорема вытекает, очевидно, из следующих двух предло­ жений: а) Пусть А—спрямляемая простая дуга и М> 0 — т а к о е положительное число, что при любом б > 0 найдется ломаная I , для которой d (Л, L)<6 и I (L)^M. Тогда длина любой вписан­ ной в А «ломаной» не превосходит М. б) Пусть Л — т а к а я простая дуга, что длина любой вписан­ ной в нее ^ломаной» не превосходит М\ Тогда при любом 6 > Q n