* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

по ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Таким образом, ломаная будет всегда пониматься в том же смысле, что и в п. 1.3, а термин «ломаная» будет употребляться как синоним термина «цепочка отрезков:'. Длиной цепочки отрезков Г = А А , . . А мы будем называть число ' ( П = Р [А А ) + Р H i . At) + • • • + Р И » - * А ); в случае, если цепочка отрезков является ломаной, мы получаем обычную длину ломаной (см. п. 1.3). Таким образом, цепочка отрезков и ее длина определяются выбо­ ром вершин А , А^, .. , А , в качестве которых можно взять любую конечную совокупность различных точек, рассматриваемых в определенном порядке. Пусть теперь Л — некоторая простая дуга и А А . . . , А — точки, последоА вательно расположенные на дуге Л , при­ чем А и А — ее концевые точки. В этом случае цепочку отрезков 0 1 к 09 к 0 к 0% 19 к 3 0 к Г = АА 0 г . .. А к мы будем называть вписанной «ломаной» дуги Л с вершинами в точках i4 , А ... , А . (Эта «ломаная» может иметь са­ мопересечения и самоналожения, рис. 19.) Докажем теперь следующую лемму: Пусть Л—простая дуга и Г = Д И . . . А — некоторая ее вписанная «ломаная». Тогда для любого в > 0 можно найти такое 6 > 0 , что всякая ломаная L для которой d ( A , L ) < 6 , удовлетворяет условию l(L)>l(Г) — е. В самом деле, пусть 6 > 0 —такое число, что на всякой про­ стой дуге Л ' с О (Л, б), концы которой отстоят от концов дуги Л менее чем на 6, найдутся последовательно расположенные точки 0 1% к ) 1 к % В , B . . . , В , для которых р (A В,-) < ^ , i = 0 , 1 , . . . , к (см. свой­ ство (з) в п. 2.1). Пусть, далее, L — произвольная ломаная, удов­ летворяющая условию d (Л, £ ) < б. Тогда Icz О (Л, б) и Л с О (L, б). Из включения Л с О ( / , , б) вытекает существование на ломаной L таких точек Р и Q, что р (Л , Р) < б, р (А Q) < б. Обозначим часть ломаной L заключенную между точками Р и Q, через Л ' . Тогда Л ' с L с О (Л, 6) и концы дуги Л ' отстоят от концов дуги Л менее чем на б. Следовательно, на ломаной Л ' найдутся такие последовательно расположенные точки В , В , В , что 0 ll й h 0 к9 t 0 1У к р (A h B / X g j f i i = 0, 1, . . . , ft. Обозначим через | 1 часть ломаной 0 к Л ' , заключенную между точками В _ и В, (/ = 1, 2, . . . , ft), а через V— часть ломаной Л ' , заключенную между точками В и В . Тогда