* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
108 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ <"2". Обозначим эти части через Ai, А , . . . t Л^ (дуга Л,- имеет своими 2 концевыми точками A,-_i и A -). Пусть/—непрерывное взаимно однозначное отображение числового отрезка А на множество Л и f , t ... , t —такие точки отрезка А, что lifi) = Ai / = 0, 1, . . . , ft. Тогда последовательность lot t\* • • • i t монотонна, причем t и t —концевые точки отрезка А. Мы можем без ограничения общности считать, что эта последовательность — возрастающая, т. е. f < t < ... < t и А = [*, f ]. Ясно, что Л, = /([/,_!, f,D. / = 1 . 2 , А. Выберем такое положительное число г, что выполнены следующие условия: множества (О (Л,-, г)) и (О (Ар г)) не имеют общих точек при | i—/ | > 1; множества O(A г) и ( 0 ( Л , г)) не имеют общих точек; множества 0(А , г) и ( 0 ( A _ г)) не имеют общих точек. Существование такого числа г вытекает из сказанного в п. 2.2. Нако нец, выберем положительное число 6, удовлетворяющее условиям 6 < г , t 0 lr k % k 0 k 0 x k 0 fe 3 3 0t 2 3 к ft b э 6 < — . Мы покажем, что это число 6 удовлетворяет условиям, указанным в формулировке свойства (з). В самом деле, пусть Л СО (Л, 6)—простая дуга, концы которой от стоят от концов линии Л менее чем на 6. Обозначим концы дуги Л' через В н В , так что р (А , В ) < б, р ( Л , B ) < 6. Выберем некоторое непре рывное взаимно однозначное отображение g числового отрезка А' на про стую дугу Л' и обозначим через д н ц концы этого отрезка. Мы можем без ограничения общности считать, что g(q ) = B g(q^—B . Д каждого /=1, 2, . . . , ft—1 обозначим через Q/ множество всех точек t > д отрезка А', удовлетворяющих условию g([q t])c U где Ui = 0(A 6)U 0(A , 6) U U . . . UO(A,', 6). Ясно, что Qi представляет собой некоторый отрезок (возможно, без правого конца), содержащийся в отрезке А', причем 0 к 0 0 А k 0 к л я 0 0r k 0 Qt it u 2 Следовательно, обозначая правый конец отрезка Q- черев q (т. е. = sup Qf, 1 = 1, 2, . . . , ft — 1), мы получим ? o < ? i < * 7 a ^ . . . <Ян-\< ЯнПоложим £ / = £ ( ? / ) , 1 = 1, » ft—1 (точки В и В уже были определены выше). Мы покажем, что точки В , B ... , В различны между собой, последовательно расположены на линии Л' и удовлетворяют условиям р(Л/, В / ) < е , /=0, 1 ft. Пусть i—какое-либо из значений 1, 2, . . . , ft—1. Так как при t < q мы имеем g(t)£Uj то как угодно близко к точке gfa) найдутся точки множества £//, и потому £/=g(9j)€((//)a- Точка В принадлежит множеству О (А 6), которое не пересекается с (£/;) (ибо 6 < г и i < ft). Следовательно, В(ф В и потому qi