* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОСТЫЕ ДУГИ В t 2 107 множество Л д представляет собой образ отрезка lt , t ] при отображении / и потому является простой дугой. Перейдем к доказательству свойства (г). Пусть /—непрерывное взаимно однозначное отображение числового отрезка Д = [а, Ь] на множество Л и пусть Г/—такая точка отрезка Д, что l{tg) = A / = 0, 1, . . . , к . Тогда точки f » *i образуют монотонную последовательность, причем f и t — концы отрезка Д. Будем для определенности предполагать, что a = f < < t\ < ... < tk-i < tk ' Д У А/ представляет собой образ отрезка A; = [f/_i, /,*] при отображении f. Из свойств числовых неравенств легко вытекает, что отрезки А/ и Ду с несоседи ими номерами не имеют общих точек, а отрезки Д* и A,+i имеют единственную общую точку i = l , 2, . . . , k—1. Отсюда и следует справедливость свойства (г). Наконец, свойство (д) легко установить сначала для ft = 2, а затем по индукции—для произвольного ft. 2.5. Доказательство свойства (е). Пусть f—непрерывное взаимно одно­ значное отображение числового отрезка Д = [ а , Ь] на простую дугу Л. Введем на плоскости прямоугольную систему координат (в случае про­ странства доказательство аналогично) и обозначим координаты точки f(t) через Xf(t) и y/{t). Так как функции */(f) и #/(f), заданные на отрезке А, непрерывны, то существует такое число 6 > 0 , что прн 11'—t" \ < 6 мы имеем: gt 0 0 k 0 = 0 г а ( | * / ( 0 - * / < О I < « А I У/(П-У/(П I < с/3 (свойство «равномерной непрерывности»; см. ЭЭМ, кн. I I I , стр. 220), и потому Р{НП* /(П)<2с/3 при|*'-Г|<6. 0 t k k (9) Выберем теперь на отрезке А такие точки a = t < t < ... < t _x < t =b, что tj—f,_i 0, что f (t)£0 ( В , г) прн 11—т | ^ е. Следовательно, точка f (t) не лежит на дугеЛ! при | /—т | ^ е . Но тогда на отрезке [т.—е, т] нет ни одной точки множества Q, а это про­ тиворечит тому, что т—точная верхняя грань множества Q. Итак, t £ Q , т. е. £ = / ( T ) € A I . ПО определению числа т, при t>% точка f (t) не при­ надлежит дуге Л т. е. часть Л дуги Ла, заключенная между точками В и С, не имеет с А других общих точек, кроме Я . Следовательно, часть А\ дуги A заключенная между точками А и В , и часть Л дуги Л со­ ставляют вместе простую дугу Л + Л (см. свойство (д)). it 0 lt k 1 в 2 k 0 0 0 х 0 0 1 ? я 0 г 0 lt 0 я 2 1 2 2.7. Доказательство свойств (з) и (и). Проведем сначала доказательство свойства (э). Мы можем считать (добавив, если нужно, к точкам Л , A ... , А еще конечное число точек), что Л и А —концевые точки дуги А и точки Ао» А , ... , А делят дугу Л на части, каждая из которых имеет диаметр 0 lt к 0 к г к