* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

106 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ 0 (см. п. 2.2) существует такое положительное число г, что p(g(t ), В ) > г для любой точки В £ А ' . Иначе говоря, p(g(x ), g(x))>r при т ^ т - ( - е . Так как отображение / непрерывно, то существует такое число Ь > 0, что для любой точки / отрезка А удовлетворяющей условию | r —f | < 6, выполнено соотношение р (f (f ), / (/)) < г. Пусть f—точка отрезка Д , удовлетворяющая условию | г —/ ] < 6f, положим т = ф (t). Мы имеем Р(/(*о). Г ( 0 ) < ' " - Далее, так как т = ф ( * ) . т = ф(* ), то f(t)=g(x) /('о)=5( о). потому p(g(x ), £(т)) < г. Из этого, в силу определения числа г, вытекает, что точка т не лежит на отрезке [т + е, й\ т. е. т < т + е. Итак, прн | t —t | < 6 мы имеем т < т + е, т . е . ф (/) < < (г ) + е. Тем р самым непрерывность функции ф доказана. Функция ф монотонна. Пусть f , г f —такие точки отрезка Д что t ф (t ) > ф (* )). Допустим, что это не так; пусть, например, значение ф (/ ) заключено между ф (tx) и ф ( / ) . Тогда на отрезке [t t ] найдется такая точка t что ф(Г) = ф (г ) (см. ЭЭМ, кн. I I I , стр. 216). Так как tb ф (Ь) функция ф будет монотонно убывающей.) Значения ф (а) и ф (Ь) совпадают с концами отрезка [с, d]. Это непо­ средственно следует из того, что функция ф монотонна и отображает от­ резок Ai на весь отрезок А . Из доказанного предложения вытекает, что точки f (a), f (Ь) совпа­ дают, с точностью до порядка, с точками g(c), g(d) и потому приведенное в п. 2.1 (а) определение концевых точек простой дуги корректно. Точно так же корректным является и определение последовательного расположе­ ния точек на простой дуге. В самом деле, пусть А , Л , . . . , Л —некото­ рые точки простой дуги А. Выберем на отрезке Ai точки / , t t, удовлетворяющие условиям f(t ) = A( i = 1, . . . , ft. а на отрезке А —точки т т , . . . , т , удовлетворяющие условиям g(x ) = i4*, i=\, . . . , ft. Тогда т, = ф (t[), / = 1 , . . . , ft, и потому (в силу монотонности функции ф) из мо­ нотонности последовательности t t ... , t вытекает монотонность после­ довательности т . т , . . . , x , и обратно. 2.4. Доказательство свойств (б), (в), (г), (д). Пусть Л, В, С—три точки простой дуги А. Выберем непрерывное взаимно однозначное отображе­ ние числового отрезка А = [а, Ь) на множество А, и пусть t t , / —такие точки этого отрезка, что / ( ^ ) = Л, f(t ) = B, f ( f ) ~ C . Так как из трех раз­ личных ч и с е л f 1, t t всегда одно и только одно лежит между двумя другими» то из трех точек А, В, С одна и только одна лежит между двумя другими. Свойство (б) доказано. Для доказательства свойства (в) сохраним те же обозначения А, / , Л, В, *i, t . Будем для определенности предполагать, что t\ < f . Из свойства (а) ясно, что точка D дуги А в том и только в том случае лежит между Л и В на дуге А, если она имеет вид D = / ( f ) , где t < t < t . Присоединяя к точкам, лежащим между Л и В, еще сами точки A = f(t ) н B = f (t ) мы найдем, что точка D в том и только в том случае принадлежит мно­ жеству А^д, если она имеет вид D—l(t) где ix^t