* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОСТЫЕ ДУГИ 103 Сформулируем теперь точные утверждения. (з) Пусть А —простая дуга, А , А ..А —последовательно расположенные на ней точки и е— положительное число. Тогда существует такое 6 > 0 , что на всякой простой дуге Л ' с : О (Л, 6), концы которой отстоят от концов дуги А менее чем на 6, 0 и к Рис. 14. найдутся последовательно расположенные точки B B ...,B для которых p{A В )<е, / = 0,1, . . , ft. (и) Пусть А—простая дуга и е — положительное число. Тогда существует такое 6 > 0 , что всякая простая дуга Л ' с О (Л, 6), концы которой отстоят от концов дуги А менее чем на 6, удовлетворяет условию d(A, Л')<£. 0t lt f t ) h | 2.2. Расстояние между простыми дугами. При формулировке свойств (е) и (и) использовались диаметр простой дуги и отклонение 4 (Л, Л') между двумя простыми дугами Л, Л'. Для рассмотрения этих понятий необходимо знать, что всякая простая дуга является ограниченным множеством. Докажем это. Пусть Л—простая дуга, расположенная на плоскости (в случае пространства доказательство аналогично), и /—взаимно одно­ значное непрерывное отображение некоторого отрезка Д = [ а , Ь\ на мно­ жество Л. Введем на плоскости систему координат х, у и обозначим для каждой точки / £ Д координаты точки f(t) через */(0 и уfit). Тогда */(/) и (//(/) представляют собой непрерывные функции, заданные на отрезке А (см. стр. 37). Так как всякая непрерывная функция, заданная на отрезке, ограничена (см. ЭЭМ, кн. I I I , стр. 217), то существует такое число М, что — M. /•(*/(0-ei) +(y/(0-aJ , 1