* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

102 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ дуги A и Aj с несоседними номерами i и / не имеют общих точек, а дуги А,* и Л имеют единственную общую точку А , / = 1 , 2 , . . . , ft—1- В этом случае мы будем говорить, что простые дуги А , Л , ...,Л последовательно примыкают друг к другу. Тогда сумма Л = Л + Л -г . . • + A представляет собой простую дугу с концевыми точками А и А , причем точки A А , . . . , А последовательно расположены на простой дуге А, а части, на которые дуга А разбивается этими точками, совпадают с Л Л . . . , Л . Мы будем говорить, что простая дуга Л составлена из последовательно примыкающих друг к другу дуг А , А , . . . , А . (е) Диаметром ограниченного множества М называется точная верхняя грань расстояний р(А, В), где А£М, В£М. При любом е > 0 всякую простую дугу А (на плоскости или в пространстве) можно конечным числом точек разбить на части (см. (г)), диа­ метр каждой из которых меньше е. (ж) Пусть А, В, С—три различные точки, А —некоторая простая дуга с концами А, В и А% — некоторая простая дуга с концами В, С. Тогда существует такая общая точка В дуг Aj и Л (возможно, совпадающая с В), что часть А простой дуги A заключенная между точками А и В , и часть Л про­ стой дуги А^, заключенная между точками В и С, составляют вместе простую дугу А^-^-А^ С концевыми точками А и С (рис. 13). Перед формулировкой последних двух свойств мы дадим нагляд­ ные пояснения. Пусть Л—некоторая простая дуга и А, В, С— три последовательно распо­ ложенные на ней точки. Пред­ положим, что участок ABC простой дуги Л представля­ ет собой «петлю», так что точки А и С близко располо­ жены друг от друга, а точка Рис. 13. Б — д а л е к о от них (рис. 14, а). Выберем положительное чис­ ло г и рассмотрим некоторую простую дугу Л ' , расположенную в г-окрестности дуги Л и идущую от одного конца линии Л до другого. Если г больше половины расстояния между точками А и С, то круги радиуса г с центрами в точках А и С имеют общие точки, и потому дуга Л ' может «миновать» точку В (как показано, на­ пример, на рис. 14, б). Но если г достаточно мало, то /--окрест­ ность линии Л повторяет в основном извилины этой линии (рис. 14, в), и потому линия Л ' должна пройти вдоль всей петли ABC. Иначе говоря, если г достаточно мало, то не только линия Л ' располо­ жена вся вблизи линии Л , но и сама линия Л не может далеко отходить от линии Л \ f / + 1 £ х 2 А 1 2 f t 0 к 0t х к ь 2 ) А х 2 А х 0 2 г lt 0 а 0