* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ линий 93 остатке» СВ, и пусть D—правый конец последнего из этих от­ резков (рис. 4). Затем мы обозначим через а число отрезков ранга 2, содержащихся во втором остатке DB, и т. д. В резуль­ тате мы определим некоторую последовательность целых неотри­ цательных чисел а , а а , . . . , в которой каждое число, кроме, может быть, а , не превосходит девяти. Как легко видеть, числа ! определенные выше, имеют следующие значения: 2 0 и 2 0 и п / _ а i^i I Jbt п п I Sn I —/ J L Таким образом, числа / и / — э т о те самые хорошо известные приближения с недостатком и избытком, которые получаются а =2, е 0,-3, Рис. 4. при обычном десятичном процессе измерения. выражается бесконечным рядом /(ОВ) = в + Й + 0 Длина отрезка ОВ § + . . . + ^ + . . . , т. е. бесконечной десятичной дробью, которая, разумеется, в некоторых случаях может оказаться и конечной. Если эта десятичная дробь бесконечна, но является периодической, то, как показывается в арифметике, эта дробь представляет собой рацио­ нальное число, т. е. может быть представлена в виде отношения двух целых чисел. Если же бесконечная десятичная дробь не является периодической, то она представляет собой иррациональное число (число, не являющееся рациональным). Таким образом, процесс измерения является одной из причин введения иррациональных чисел. З а м е ч а н и е 2. В вышеприведенных доказательствах суще­ ственно была использована а к с и о м а А р х и м е д а (см. ЭЭМ, кн. I V , стр. 37). Действительно, мы откладывали от точки О в обе сто­ роны равные отрезки и говорили при этом, что « в с я прямая будет разбита на равные отрезки». Без аксиомы Архимеда это заключе­ ние было бы необоснованным. В связи с тем, что описанный выше процесс измерения существенно опирается на аксиому Архимеда, ее часто называют также аксиомой измерения. Тесно связана с процессом измерения и вторая аксиома не­ п р е р ы в н о с т и — а к с и о м а К а н т о р а . Именно, если аксиома Архи­ меда позволяет каждому отрезку сопоставить положительное