* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДОБАВЛЕНИЕ. ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ б ГЕОМЕТРИИ ПОДОБИЯ 85 подобия (на плоскости и в пространстве), как и в метрической геометрии, имеется класс нуль-множеств и имеется отношение равновеликости. Все вычислительные формулы теории площадей и объемов, на­ чиная с формулы для площади прямоугольника и кончая интег­ ральными формулами, переносятся в геометрию подобия. Дейст­ вительно, обе части каждой из этих формул могут рассматриваться как функции единичного отрезка, и они равны при любом выборе единичного отрезка. Заметим, что число л , входящее во многие из этих формул, не зависит от выбора единичного отрезка, т. е. является абсолютной постоянной. Действительно, согласно п. 5.8, число л при любом выборе единичного отрезка равно площади круга радиуса г, деленной на г , а согласно формуле (2), эта площадь умножается при замене единичного отрезка на то же число, что и г . 4. Единицы длины, площади и объема. То обстоятельство, что длины отрезков, а также площади фигур и объемы тел отличаются друг от друга только числовыми множителями, позволяет ввести в геометрию подобия единицы длины, площади и объема. За единицу длины принимают длину какого-нибудь отрезка А , т. е. функцию / ( А , е) отрезка e за единицу площади — площадь какой-нибудь квадрируемой фигуры F , т . е . функцию s(F е) отрезка е, за единицу объема —объем какого-нибудь кубируемого тела Г , т . е . функцию v(T , е) отрезка е. Единственное условие, налагаемое на F И 7^, состоит в том, что они не должны быть нуль-множест­ вами. Длина всякого другого отрезка, площадь всякой другой квадрируемой фигуры, объем всякого другого кубируемого тела оказываются тогда равными выбранной единице, умноженной на некоторое число. Эта привычная запись (единица длины, площади или объема с числовым коэффициентом) представляет собой, таким образом, не формальное, а самое обычное произведение — произ­ ведение числовой функции на число. 2 2 0 0 t 0 0t 0 0 0 Единицы длины, площади и объема не являются независимыми друг от друга: каждые две из них выражаются через третью. Действительно, полагая в формулах (5), (6) е' = А F= Г , Г = Т , мы получаем: 0 ) 0 0 s(F 0 0i e) = s(F , 0 А ) [/(А , е)]\ v(T 0 0 0 0l e) = v(T Qf А ) [/(А , е)]*. 0 0 0 Обычно в качестве F выбирают квадрат, построенный на отрезке А , а в качестве Т — куб, построенный на отрезке А . В этом с л у ч а е м о , А ) = г;(7' , А ) - 1 и s(F , е) = [1(А г ) ] , v(T е) = = [/<А , * ) ] . Окончательное выражение площади и объема через единицу дли­ ны не будет, конечно, зависеть от выбора F и Г . Его можно получить прямо из формул (5), (6), если положить в них е' = Д . 2 0 0 0 0 09 0f 8 0 v 0 0