* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

84 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ 2 единственности, с тем упрощением, что соотношение a ^ s ( £ ' ) = l уже было доказано. Следующие предложения являются очевидными следствиями доказанной теоремы: Класс нуль-множеств (на плоскости и в пространстве) не зависит от выбора единичного отрезка. Отношение площадей двух квадрируемых фигур и отношение объемов двух кубируемых тел не зависят от выбора единичного отрезка. Фигуры или тела, равновеликие относительно одного от­ резка, равновелики и относительно другого отрезка. 3. Переход к геометрии подобия. В геометрии подобия нет единичного отрезка и потому нет площади в смысле §§ 1—6. Так как, однако, любой отрезок можно принять за единичный отрезок некоторой метрической геометрии, то каждому отрезку е отвечает своя функция s со свойствами (а) — (б). Согласно п. 2, все эти функции определены на одном и том же классе квадрируемых фигур. Мы получаем, таким образом, функцию s (F) двух аргу­ ментов: отрезка е и квадрируемой фигуры F. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы вместо s (F) будем писать s(F, е). Функция s(F, е) и называется площадью в геометрии подобия. Если фиксировать фигуру F, то она превратится в функцию отрезка е, называемую площадью фигуры F. Таким образом, в геометрии подобия, как и в метрической геометрии, имеется класс квадрируемых фигур и имеется пло­ щадь, определенная на этом классе, — только площадь фигуры представляет собой не число, а функцию отрезка. Сказанное о площади с очевидными изменениями переносится на объем и, конечно, на длину. Объем v(T, e) = v (T) есть функ­ ция кубируемого тела Т и отрезка е, длина / ( А , е) = 1 (А) есть функция отрезков А и е. Объем тела Т и длина отрезка А явля­ ются функциями отрезка е. Зависимость длины / ( А , е), площади s(F, е) и объема v(T, е) от е была рассмотрена в п.2. Из имеющихся там предложений, в част­ ности, следует, что длины / ( А е), / ( А , е) двух любых отрезков А , А , площади s(F е), s(F. , е) двух любых квадрируемых фигур F F и объемы v(T , е), v(T , е) двух любых кубируемых тел Tj, Т отличаются друг от друга лишь постоянными множи­ телями. Формулы (1), (2), (3) представятся теперь в виде e e e e е 1 ( 2 х 2 l9 z lt 2 x 2 2 / ( А , е) = / ( А , е') 1(е', s(F, e) = s(F, е') [l(e , v(T, e) = v(T, е') [l(e , f r е), е)]\ e)f, (4) (5) (6) где e и e' — любые отрезки. Подчеркнем еще, что в геометрии