* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДОБАВЛЕНИЕ. ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ В ГЕОМЕТРИИ ПОДОБИЯ 81 Те же включения (17) показывают, что v (U) ^ v (Т) ^ v (V), т. е. что v(T) есть верхняя грань нижних интегральных сумм и нижняя грань верхних интегральных сумм. Так как единственным числом, обладающим этим свойством, является интеграл функции Я ф по отрезку А (ср. п. 5.9), то этим доказана формула (15). 7.12. Другое построение теории объемов (ср. § 6). Направим оси координат по трем ребрам единичного куба, выходящим из одной вершины, и рассмотрим плоскости, определяемые уравнениями x = k-10"", у = / - 1 0 " , z = m-10~", где л—неотрицательное целое число, а /, m—всевозможные целые числа. Эти плоскости раз­ бивают пространство на равные кубы, называемые кубами ранга л. Пусть М—ограниченное множество, лежащее в пространстве. Обозначим через а число кубов ранга л , содержащихся в М, 2 п п и через а' число кубов ранга л, пересекающихся с Ж, и положим: v = a - 1 0 " , v =а • 1 0 " . Последовательность v v воз­ растает, последовательность z>' , v . . . убывает, и при любых р и д справедливо неравенство v ^ v . Следовательно, точные п 3n Эи n n 0i lt 0 p грани v = supv„, v = infv„ служат пределами последователь­ ностей v v и х>' , v и v ^ v . Если v = v то М назы­ вается кубируемым множеством или кубируемым телом, а число v = v называется объемом этого тела и обозначается через v (М). Дальнейшее построение теории шаг за шагом повторяет § 6: доказывается кубируемость куба ранга л и вычисляется его объем; определяются и изучаются нуль-множества; дается критерий кубируемости; рассматриваются операции над кубируемыми телами; устанавливаются свойства объема; доказывается теорема единствен ности. При этом, как и в § 6, свойство (у) устанавливается сначала в ослабленной форме (у') (кубируемые тела, получающиеся друг из друга параллельным переносом, имеют равные объемы), затем в усиленной форме доказывается теорема единственности и, наконец, свойство (у) устанавливается полностью. В заключение доказывается, что это второе определение кубируемости и объема эквивалентно первому. 0t l9 0 9 t * Добавление. Площадь и объем в геометрии подобия 1. Метрическая геометрия и геометрия подобия. Определения площади и объема, изложенные в этой статье, в одном пункте расходятся с представлениями, вынесенными нами из школы: согласно этим определениям, площади и объемы являются числами, тогда как в школе нас учат, что это — особые величины, измеряемые специальными единицами.