* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

76 ПЛОЩАДЬ i l ОБЪЁМ Всякое нуль-множество кубируемо. Кубируемое тело в том й только в том случае есть нуль-множество, если оно не содер­ жит внутренних точек. Сумма конечного числа нуль-множеств есть ну ль-множество. Часть ну ль-множества есть нуль-множество. К р и т е р и й к у б и р у е м о с т и . Множество кубируемо в том и только в том случае, если оно ограничено и его граница яв­ ляется нуль-множеством. О п е р а ц и и н а а к у б и р у е м ы м и т е л а м и . Сумма и пере­ сечение конечного числа кубируемых тел кубируемы. Разность двух кубируемых тел кубируема. П р о б л е м а к у б и р у е м о с т и . Тела, с которыми мы встречаем­ ся в геометрии и классическом анализе, обычно бывают ограничены конечным числом поверхностей, удовлетворяющих определенным условиям гладкости. Такие поверхности являются нуль-множествами, и потому «классические» тела кубируемы. Поверхность, не удов­ летворяющая условиям гладкости, может не быть нуль-множеством, и в соответствии с этим существуют тела, ограниченные поверхно­ стями, но не кубируемые. Положение здесь таково же, как на плоскости (ср. пп. 4.7, 4.8 и 4.10), но детали менее элементарны, и мы не будем ими заниматься. 7.8. Объем на классе кубируемых тел (ср. § 5). Объемом называется функция, определенная на классе кубируемых тел и обладающая свойствами (а) — (б) (п. 7.3). Такая функция определена, в частности, на классе многогранных тел и совпадает там с функцией v изучавшейся в пп. 7.3—7.6. Новую функцию мы также будем обозначать через v. П р о с т е й ш и е с л е д с т в и я а к с и о м . Из аксиом (а) и ф) следует м о н о т о н н о с т ь объема: если кубируемое множество N является частьюкубируемого множества М, то v(N) ^v(M). Из акси­ омы ф) следует, что для любых двух кубируемых множеств М и N v(M+N) = v (M) + v(N)—v (MN). Из аксиом (а) и ф) следует, что для любых кубируемых множеств f v(M +...+M )^v(M )+...+v(M ). О б ъ е м к а к т о ч н а я г р а н ь . Объем кубируемого тела есть точная верхняя грань объемов входящих многогранных тел и точная нижняя грань объемов объемлющих многогранных тел. Существование и единственность о б ъ е м а . На классе кубируемых тел существует одна и только одна функция со свойствами (а) — (б). Н у л ь - м н о ж е с т в а . Класс нуль-множеств совпадает с классом кубируемых множеств нулевого объема. Из существования таких множеств следует, что на классе ку­ бируемых тел объем не является строго монотонной функцией. l n 1 n