* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДРУГОЕ ПОСТРОЕНИЕ Т Е О Р И И ПЛОЩАДЕЙ 61 Справедливость первого утверждения очевидна. Докажем спра­ ведливость второго. Достаточно рассмотреть случай двух множеств. Пусть М и N—нуль-множества. Так как каждый квадрат ранга я , задетый множеством M-\-N, задет по крайней мере одним из мно­ жеств Ж, N, то а ( Ж + * ) < а „ ( Ж ) + а ( Л 0 , s (M+N)^s (M)+s' я Я n n n (N). n Так как М и N—нуль-множества, n то s (AJ)—>0us (N)—*0.Сле­ n довательно, s (M-\-N)—J-0, и потому M-\-N есть нуль-множество. Пусть теперь Ж —нуль-множество, N—равное ему множество. Покажем, что N есть нуль-множество. Движение, переводящее множество М в N, переводит квадраты ранга я , задетые мно­ жеством Ж, в какие-то квадраты, покрывающие множество N. Каж­ дый из этих новых квадратов задевает не более девяти квадратов нашей сетки. Действительно, расстояние от любой его точки до его центра меньше 10~ , вследствие чего он может иметь общие точки только с квадратом сетки, содержащим его центр, и с восе­ мью соседними квадратами сетки. Так как число новых квадратов равно а ( Ж ) , то общее число квадратов сетки, задетых новыми квадратами, не превышает 9сс (Ж). Следовательно, и число квадра­ тов сетки, задетых множеством N не превышает 9 а ( Ж ) , т. е. а (N) < 9 а (Ж), s (N) ^ 9s (Ж). Так как Ж—нуль-множество, то s' {M)—»-0. Следовательно, s (N)—»-0, и потому N есть нуль­ множество. Сумма и пересечение конечного числа квадрируемых фигур являются квадрируемыми фигурами. Разность двух квадриру­ емых фигур есть квадрируемая фигура. Множество, равное квадрируемой фигуре, есть квадрируемая фигура. Теорему о сумме и пересечении достаточно доказать для слу­ чая двух фигур. Пусть Ж и TV—квадрируемые фигуры. Покажем, что фигуры M-\-N, MN и Ж — N квадрируемы. Согласно нашему критерию квадрируемости, мы должны доказать, что если Ж и N —нуль-множества, то (M-\-N) {MN) и ( Ж — Л 0 — т а к ж е нуль­ множества. Но это сразу следует из соотношений п л я t п п л n n n n г r n r Г (M+N)