* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ДРУГОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ПЛОЩАДЕЙ
57
6.2. Площадь относительно сетки. В этом параграфе мы будем пользоваться прямоугольной декартовой системой координат х, у оси которой направлены по двум соседним сторонам единичного квадрата Е. Точки квадрата Е характеризуются, таким образом, неравенствами O ^ j t ^ l , O s ^ y ^ l . Пусть л — неотрицательное целое число. Рассмотрим горизон тальные и вертикальные прямые, определяемые уравнениями
9
лг = Л - 1 0 - ,
п
y= M0-
n t
(1)
где к и /—всевозможные целые числа. Эти прямые образуют сет ку, подобную той, которую мы видим на миллиметровой бумаге. Они разбивают плоскость на равные квадраты со стороной 10"", называемые квадратами ранга л. Чем больше л, тем гуще сетка и тем мельче квадраты. Пусть М—ограниченное множество, лежащее на плоскости. Обозначим через а число квадратов ранга п, целиком входящих в множество М (под квадратом мы понимаем, как всегда, замкну¬ тый квадрат), и через а — число квадратов ранга л, задетых множеством М т. е. имеющих с М хотя бы одну общую точку (из ограниченности множества М следует, что тех и других квад ратов конечное число). Положим:
п п 9
s = а • 10" ",
n п гп
2
si, = с*; • 10-*».
(2)
Откуда взялись эти числа? Всякий, знакомый с понятием пло щади, скажет, что 1 0 ~ есть площадь одного квадрата ранга п и что поэтому s есть площадь многоугольной фигуры Р со ставленной из входящих квад ратов ранга л, a s'—площадь многоугольной фигуры Q со ставленной из задетых квадра тов ранга л (рис. 19). Мы, однако, еще только строим теорию пло щадей и не можем пользовать ся понятием площади. Числа (2) как раз и послужат нам для определения этого понятия. Установим, прежде всего, два основных свойства чисел (2). " 19 1. Последовательность s s . . . возрастает, последовательность $' s' убывает. Действительно, всякий квадрат ранга п распадается на 10 квадратов ранга л + 1. Если исходный квадрат — входящий, то и все полученные квадраты будут входящими; если хотя бы один из
n п9 m Р И С 09 l9 о9 19 3
