* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

66 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ частности, если квадрируемая замкнутая область F не пуста, то s(F)>0. Докажем сначала второе утверждение. Так как F=(F ) , то из непустоты множества F следует непустота множества F . Сле­ довательно, s{F)>0 (см. пп. 4.3 и 5.6). Доказательство первого утверждения дословно совпадает теперь с соответствующим рас­ суждением п. 3.6. Поскольку для всякого квадрируемого множества существует квадрируемая замкнутая область, отличающаяся от него лишь нуль-множеством, переход от класса всех квадрируемых фигур к классу квадрируемых замкнутых областей не является существен­ ным сужением области определения площади. Существуют вопро­ сы, в которых класс квадрируемых фигур предпочтительнее; тако­ во положение в теории интегрирования, которая, впрочем, давно уже не удовлетворяется и классом всех квадрируемых множеств и продолжает площадь далеко за пределы этого класса. Однако с элементарно геометрической точки зрения класс квадрируемых замк­ нутых областей является более естественной областью определе­ ния площади, чем класс всех квадрируемых множеств. B a B § 6. Другое построение теории площадей 6.1. Введение. Цель этого параграфа — познакомить читателя с построением теории площадей, основанным на естественном кон­ структивном определении площади, которое было кратко описано в п. 1.5. Многоугольные фигуры не играют в этом построении специальной роли. Определение площади дается сразу для про­ извольной квадрируемой фигуры, и одновременно определяется сам класс квадрируемых фигур. Свойства (а) — (6) доказываются как теоремы. В заключение устанавливается, что новое определе­ ние эквивалентно аксиоматическому определению, данному в пре­ дыдущих параграфах. Эта эквивалентность избавляет нас от необходимости вторично рассматривать все проблемы теории площадей. Заново строится лишь логический костяк теории. Таких вопросов, как вычисление площади, поведение площади при геометрических преобразова­ ниях, квадрируемость классических фигур, построение неквадрируемых множеств с теми или иными свойствами, полнота и строгая монотонность, мы вовсе не касаемся. То обстоятельство, что площадь определяется сразу для квад­ рируемых фигур, делает теорию более компактной, и в этом со­ стоит главное преимущество второго построения перед первым. Преимущества первого построения заключаются в его сравнитель­ ной элементарности и в близости к историческому развитию тео­ рии площадей и школьному преподаванию,