* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 87 f динаты точки f{t) t € Ясно, что функции лг^, y определяются отображением / и в свою очередь определяют его. Если эти функ­ ции непрерывны, то они будут непрерывными и при всяком другом выборе системы координат, потому что преобразование координат линейно; в этом случае и отображение / называется непрерывным. Нас будут интересовать непрерывные и взаимно однозначные отображения отрезка в плоскость. Множество точек плоскости, на которое можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить отре­ зок, называется простой дугой. Взаимная однозначность есть как раз то свойство отображения, которое обеспечивает отсутствие самопересечений. Определению простой дуги можно дать следующее наглядное истолкование. Представим себе, что отрезок сделан из материала, способного как угодно изгибаться, сокращаться и растягиваться, но неспособного рваться и склеиваться. Простая дуга есть то, что можно изготовить из такого отрезка. Как будет показано в п. 4.10, простая дуга может не быть нуль-множеством. Э л е м е н т а р н ы е к р и в ы е . Множество точек плоскости назы­ вается элементарной кривой, если существует система координат, в которой это множество является графиком функции, определен­ ной и непрерывной на некотором отрезке. Элементарные кривые являются простыми дугами. Действи­ тельно, пусть Г — график функции ф, непрерывной на отрезке Д. Ясно, что отображение / этого отрезка на Г, определяемое функ­ циями Xj(t) = t, yf(t) = y{t) (т. е. относящее каждой точке отрезка Д лежащую над ней точку графика Г), непрерывно и взаимно однозначно. Элементарная кривая является нуль-множеством. При доказательстве буквой Г, как и выше, будет обозначать­ ся график функции <р, непрерывной на отрезке Д. Запись Д = A -t~...+ Д означает, что отрезок Д разбит промежуточными точками на частичные отрезки Д Д . Через т и М обозна­ чаются наименьшее и наибольшее значения функции ф на отрезке А; (они существуют в силу известной теоремы Вейерштрасса). Буква / обозначает длину отрезка. Л е м м а . Для всякого положительного числа е существует такое разбиение Д = Д + . . . + Д„, что f x п 1 ? п { { х jS(Af,-w,)/(A,)