* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

34 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ выбрать числа % и (i таким образом, чтобы было выполнено и третье соотношение. Треугольники, составляющие фигуру Р, не пересекаются; тре­ угольники, составляющие фигуру Q, могут пересекаться. В соот­ ветствии с этим s(P) = №s(P% s ( O X \i s(Q') (см. п. 3.8 и п. 3.2), и потому 2 s(P')-s(P) = (l-^)s(P'), s(Q)-s{Q')^(^-\)s(Q'). <.-^-, Пусть Л. и [i настолько близки к единице, что (1 — №)s(P') (|i — l)s(Q')<-g-. a Тогда = = [s(Q) - s (Q')l + [s (Q')-s ( Л 1 + [s (P')s {P)]< | + у + 1 = e. 4.3. Нуль-множества. Множество Ж называется нуль-множе­ ством, если для всякого положительного числа е существует такая многоугольная фигура R, что ЖсЛ, * ( Я ) < е. (3) Нуль-множества квадрируемы. Действительно, пусть Ж—нуль-множество и е — положительное число. Найдем многоугольную фигуру R, удовлетворяющую усло­ виям (3), и примем за Р пустое множество, а за Q—фигуру R. Ясно, что фигуры Р и Q удовлетворяют условиям (1). Квадрируемая фигура в том и толь/со в том случае является нуль-множеством, если она не содержит внутренних точек. Действительно, если квадрируемая фигура М не содержит вну­ тренних точек, то единственной содержащейся в ней многоугольной фигурой Р является пустое множество, и соотношения (1) превра­ щаются в соотношения (3), если за R принять фигуру Q. Если же множество М содержит внутреннюю точку, то оно содержит целый квадрат, и всякая многоугольная фигура R, содержащая М, содер­ жит этот квадрат и потому имеет площадь, по меньшей мере рав­ ную площади этого квадрата. Сумма конечного числа нуль-множеств есть нуль-множе­ ство. Часть нуль-множества есть нуль-множество. Второе очевидно, первое достаточно доказать для случая двух слагаемых. Пусть М и М' — нуль-множества и е — положительное число. Найдем такие многоугольные фигуры R и R', что М с R, М' с R\ S (R) < е/2, s (R') < e/2, и рассмотрим многоугольную фигуру R + R'. Ясно, что M + M'cz /?+/?', s(R + R')^s(R) + s{R')