* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

18 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ их общая вершина, либо пустое множество (см. рис. 3). При пра­ вильном разбиении отрезки, служащие сторонами Треугольников разбиения, могут быть двух типов. Отрезок п е р в о г о т и п а слу­ жит стороной только одного треугольника разбиения. Отрезок в т о р о г о т и п а служит общей стороной двух треугольников раз­ биения, лежащих по разные стороны от проходящей через него пря­ мой. Отрезки первого типа состав­ ляют границу многоугольной фи­ гуры. Отрезки второго типа, за возможным исключением своих кон­ цов, лежат во внутренней части многоугольной фигуры. Одно разбиение многоугольной 4> фигуры называется измельчением другого, если всякий треуголь­ Рис. 3. а) Неправильное разбие­ ник первого разбиения содержится ние; б) правильное разбиение. в некотором треугольнике второго разбиения. Например, разбиение, изображенное на рис. 3,6, является измельчением разбиения, изо­ браженного на рис. 3, а. Всякое разбиение многоугольной фигуры обладает правиль­ ным измельчением. Для доказательства воспользуемся следующим очевидным не­ обходимым и достаточным условием правильности разбиения: если общая точка двух треугольников разбиения служит вершиной од­ ного из них, то она служит вершиной и другого. Пусть л —число «неправильных» вершин, для которых это условие не выполнено, А— одна из таких вершин и Т—треугольник разбиения, содер­ жащий точку А не в качестве вершины. Ясно, что точка А лежит на одной из сторон треугольника Т. Отрезок, соединяющий точку А с вершиной треугольника Г, противоположной этой стороне, раз­ бивает Т на два треугольника и этим определяет новое разбиение нашей многоугольной фигуры, служащее измельчением исходного разбиения. У нового разбиения число неправильных вершин равно уже п—1. Продолжая этот процесс, мы придем через п шагов к правильному разбиению. 2.5. Операции над многоугольными фигурами. Речь идет об операциях сложения, пересечения и вычитания. Что получится, если мы будем производить эти операции над многоугольными фигурами? П е р е с е ч е н и е . Пересечение двух многоугольных фигур мо­ жет не быть многоугольной фигурой. Например, два треугольника могут пересекаться в одной точке или по отрезку. Если исклю­ чить эти случаи, то пересечение двух треугольников будет вы­ пуклым многоугольником или пустым множеством и, значит,