* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВВЕДЕНИЕ: ЧТО ТАКОЕ ПЛОЩАДЬ? 11 Одно из возможных прямых построений функции со свойствами (а) — (б) на классе многоугольных фигур фактически было описано в п. 1.2: заданная многоугольная фигура разбивается на треуголь­ ники без общих внутренних точек, затем дли каждого треугольника составляется половина произведения какой-нибудь стороны на со­ ответствующую высоту и результаты складываются. Тот факт, что этим путем действительно получается функция многоугольной фи­ гуры со свойствами (а)—(б), требует, конечно, доказательства. После того как площадь построена на классе многоугольных фигур, ее уже сравнительно нетрудно продолжить на класс квад­ рируемых фигур. Способ продолжения опять-таки был фактически описан в п. 1.2: за площадь квадрируемой фигуры принимается то единственное число, для которого площади входящих много­ угольных фигур служат приближениями с недостатком, а площади объемлющих многоугольных фигур — приближениями с избытком. Свойства ( а ) ^ ( б ) для продолженной функции выводятся из ее уже установленных свойств на классе многоугольных фигур. Всякое прямое построение функции со свойствами (а) — (б) само, очевидно, может служить определением площади. Такие определе­ ния называются конструктивными, и любое из них может быть положено в основу теории площадей. Если при аксиоматическом определении площади должны быть доказаны ее существование и единственность, то при конструктивном определении становятся теоремами и подлежат доказательству свойства (а) — (б). С логи­ ческой точки зрения конструктивное построение теории площадей эквивалентно аксиоматическому и в конечном счете отличается от него лишь порядком изложения. Методически каждое построение имеет свои достоинства и свои недостатки. Для начинающего очевидным недостатком намеченного выше конструктивного определения площади является его психологи­ ческая неубедительность: площадь треугольника по определению объявляется равной половине произведения основания на высоту. Более естественным является конструктивный подход к понятию площади, содержащийся в широко известной наивной формулировке: площадь фигуры есть число единиц площади, заключенных в этой фигуре. Этой формулировке можно следующим образом придать точный смысл. Разобьем плоскость горизонталями и вертикалями на квадраты со стороной 1, затем каждый из них на 100 квадра­ тов со стороной / , затем каждый из полученных квадратов—на 100 квадратов со стороной / , и т. д. Пусть а —число квадра­ тов со стороной Vio i целиком содержащихся в заданной фигуре F, и а — число квадратов со стороной / , пересекающихся с этой г 1 0 1 1 0 0 п n 1 п п х о фигурой (см. рис. 19 на стр. 57). Положим s = /юо n = nfwo С наивной точки зрения s есть «число единиц площади, заключен­ ных в F», взятое с недостатком, a s' —«число единиц площади, n n n а и п и s a n