* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

10 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Как видно из предыдущего, это определение представляет собой лишь перевод на современный математический язык тех представ­ лений о площади, которые достались нам в наследство от матема­ тиков прошлого. Конечно, такой перевод не мог обойтись без уточнений. Наиболее заметное уточнение касается класса фигур, которым приписывается площадь. Мы должны были точно указать этот класс, тогда как прежде математики не ставили перед собой такой задачи. Нетрудно заметить, что свойства (а) — (6) играют в изложенном определении площади роль аксиом. Иногда их называют аксиомами площади, а само определение называют аксиоматическим. 1.4. Проблема существования площади. Вернемся к трем поло­ жениям, сформулированным в начале предыдущего пункта. Поло­ жения (1) и (2) были приняты нами как очевидные; положение (3), согласно пп. 1.1 и 1.2, представляет собой теорему, которая может быть доказана. Из положения (3) вытекает, что на классе квадри­ руемых фигур не может быть двух различных функций со свойст­ вами (а) — (6); утверждение, содержащееся в положениях (1) и (2), состоит, очевидно, в том, что по крайней мере одна такая функ­ ция существует. Поскольку положение (3) может быть доказано, единственность нашей функции не вызывает сомнений. Но так ли уж очевидны положения (1) и (2)? Разве в действительности очевидно, что на классе квадрируемых фигур, или хотя бы на классе многоугольных фигур, существует функция со свойствами (ее) — (6)? Конечно, это вовсе не очевидно. До сих пор положения (1) и (2) представлялись нам очевидными просто потому, что мы неходили из старого взгляда на площадь как на нечто данное. В действи­ тельности существование функции со свойствами (а) — (6) требует доказательства. Сначала должны быть доказаны существование и единственность такой функции на классе многоугольных фигур, за­ тем должен быть определен класс квадрируемых фигур и, наконец, должны быть доказаны существование и единственность такой функ­ ции на классе квадрируемых фигур. Только после того как все это проделано, слова «площадь есть функция квадрируемой фигуры, обла­ дающая свойствами (а) — (6)», становятся полноценным определением. 1.5. Конструктивные определения площади. Все известные до­ казательства существования функции со свойствами (а) — (6) за­ ключаются в прямом построении этой функции, т. е. в описании процесса, позволяющего по фигуре F найти число пл. F. После того как функция построена, устанавливается, что она обладает свойствами (а) — (6). Разные доказательства отличаются друг от друга, конечно, не тем, что приводят к различным функциям,— функция всегда одна и та же, — а тем, что в них по-разному стро­ ится эта функция.